Составить уравнение гиперболы, зная один из ее фокусов (-2,2) и асимптоты 2x-y+1=0, x+2y-7=0.

задан 25 Май '14 14:13

изменен 26 Май '14 21:27

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1
  1. Найдите точку пересечения асимптот - это будет начало новой системы координат, где уравнение гиперболы имеет канонический вид $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ Должно получиться $%O(1;3)$%.
  2. Найдите расстояние от $%O$% до фокуса - должно получиться $%\sqrt{10}$%.
  3. Докажите, что асимптоты перпендикулярны, откуда $%a=b$%.
  4. Из соотношения $%a^2+b^2=c^2$% найдите $%a$% и $%b$%.
  5. В результате должно получиться, что в некоторой системе координат уравнение имеет вид $$\frac{x_2^2}{5}-\frac{y_2^2}{5}=1$$
  6. Найдем эту систему координат. Ясно что она получается из исходной сдвигом в точку $%(1;3)$%, и затем поворотом на некоторый угол. То есть $%x_1=x-1$% и $%y_1=y-3$%, остается определить угол.
  7. Фокус $%(-3;-1)$% при повороте перейдет в точку $%(-\sqrt{10};0)$%, то есть $%x_2=3/\sqrt{10}x_1-1/\sqrt{10}y_1$% и $%y_2=1/\sqrt{10}x_1+3/\sqrt{10}y_1$%.
  8. Подставляя $%x_2,y_2$%, а затем $%x_1,y_1$% в уравнение, получим ответ.
ссылка

отвечен 25 Май '14 19:51

10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно предложить ещё такой способ. Центр и оба фокуса нам известны. Берём разность расстояний от точек $%(-2;2)$% и $%(4;4)$% до точки $%(x;2x+1)$% на одной из асимптот и переходим к пределу при $%x\to+\infty$%. Получается $$\sqrt{(x+2)^2+(2x-1)^2}-\sqrt{(x-4)^2+(2x-3)^2}=\frac{20(x-1)}{\sqrt{(x+2)^2+(2x-1)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(2x-3)^2)}},$$ что стремится к $%2\sqrt5$%. Значит, для точек гиперболы разность расстояний до фокусов равна этой самой величине, и уравнение имеет вид $$\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}-\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}=2\sqrt5.$$ Из этого уравнения выводится уравнение гиперболы в виде кривой второго порядка. Такого рода вывод должен приводиться в учебниках. У меня получилось $%2x^2-2y^2+3xy-13x+9y-\frac{39}2=0$%, что также эквивалентно $%(2x-y+1)(x+2y-7)=\frac{25}2$%.

ссылка

отвечен 25 Май '14 21:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×866

задан
25 Май '14 14:13

показан
2421 раз

обновлен
25 Май '14 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru