1. Докажите, что при х (0; п/2) справедливо неравенство sinx > x*cosx.
  2. При каких значениях параметра а функция y=5/3ax^3 - 30*x^2 + 5(a+9)x - 7 возрастает на всей числовой прямой?

задан 25 Май '14 19:42

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) У нас этот факт доказывался в школьном учебнике при выводе "первого замечательного предела". Рассуждение было геометрическое. Брался угол величиной $%x$% радиан в первой координатной четверти. Площадь сектора единичной окружности при этом равна $%\frac12x$%. Этот сектор содержится в прямоугольном треугольнике, один из катетов которого равен 1 (горизонтальный), а второй равен $%{\mathop{\rm tg\,}}x$% (вертикальный). Его площадб равна $%\frac12{\mathop{\rm tg\,}}x$%. Отсюда из сравнения площадей следует неравенство $%x < {\mathop{\rm tg\,}}x$%, то есть $%x\cos x < \sin x$%.

2) Надо рассмотреть производную функции: $%y'=5ax^2-60x+5(a+9)$% и потребовать, чтобы она нигде не была отрицательной. Ясно, что $%a > 0$%, и тогда у квадратного трёхчлена $%ax^2-12x+a+9$% должен быть дискриминант $%D\le0$%. Это значит, что $%a^2+9a-36\ge0$%, откуда $%a\in(-\infty;-12]\cup[3;+\infty)$%. С учётом положительности $%a$% имеем $%a\in[3;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 25 Май '14 20:01

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) $%sinx>xcosx\Leftrightarrow\{tgx>x; x\in(0;\pi/2)\}.$% Далее можно рассмотреть функцию $%y=tgx-x;y^{'}=1/cos^2x-1; y(0)=0;y^{'}>0,x\in(0;\pi/2).$% Что и доказывает неравенство. Хотя неравенство $%tgx>x$% известное, и легко следует из геометрической интерпретации тригонометрических функций.

2) Найдите производную этой функции (будет квадратный трехчлен), а далее несложно определить при каких $%a$% он принимает неотрицательные значения ($%a>0,D\le0$%)

ссылка

отвечен 25 Май '14 20:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×315

задан
25 Май '14 19:42

показан
7354 раза

обновлен
25 Май '14 20:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru