$$dx/dt=-7x-6y-6z+4e^{2t}$$ $$dy/dt=8x+7y+6z-5e^{-3t}$$ $$dz/dt=-4x-4y-3z-sin(2t)$$

задан 26 Май '14 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Думается мне, что тут предполагается матричное решение...

Записываете СДУ в матричной форме, вводя матрицы $$X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}-7&-6&-6&\\8&7&6&\\-4&-4&-3\end{pmatrix},\quad F = \begin{pmatrix}4e^{2t}&\\-5e^{-3t}\\-2\sin(2t)\end{pmatrix},$$ тогда система примет вид $%X'=AX+F$%.

Находите характеристическое уравнение: $%\det(A-\lambda E)=-\lambda^3-3\lambda^2+\lambda+3=0$%. Находите корни $%\lambda_{1;2;3}=1;-1;-3$%... и соответствующие собственные векторы: $$H_1=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}, \quad H_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}, \quad H_3=\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}$$ и записываете общее решение однородной системы $$X_0=C_1e^tH_1+C_2e^{-t}H_2+C_3e^{-3t}H_3 = C_1e^t\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+C_2e^{-t}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+C_3e^{-3t}\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}.$$

Из общих соображений доказывается, что метод вариации произвольной постоянной приводит к системе вида $$C'_1e^tH_1+C'_2e^{-t}H_2+C'_3e^{-3t}H_3 =F,$$ которую можно переписать в матричной форме как $$\begin{pmatrix}0&-1&3\\-1&1&3\\1&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C'_1e^t\\C'_2e^{-t}\\C'_3e^{-3t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4e^{2t}&\\-5e^{-3t}\\-2\sin(2t)\end{pmatrix}... $$ Остаётся обратить матрицу коэффициентов этой системы и проинтегрировать три простых ДУ...

ссылка

отвечен 27 Май '14 18:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,116

задан
26 Май '14 0:00

показан
558 раз

обновлен
27 Май '14 18:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru