Найдите все значения параметра $%a$%, при которых найдется не меньше трех целых $%x$%, при каждом из которых выполняется неравенство

$${\log_x}\frac{{x - a}}{{1 - ax}} + {\log_{x - 1}}\frac{{x - a - 1}}{{a + 1 - ax}} \geqslant 0 $$

задан 26 Май '14 2:25

изменен 26 Май '14 2:30

10|600 символов нужно символов осталось
2

Решениями могут быть только натуральные числа $%x\ge3$%. Хотя бы одно слагаемое при этом должно оказаться неотрицательным, то есть $%\frac{x-a}{1-ax}\ge1$% или $%\frac{x-a-1}{a+1-ax}\ge1$%. Первое неравенство равносильно $%\frac{(x-1)(a+1)}{1-ax}\ge0$%, а второе равносильно $%\frac{(x-2)(a+1)}{a+1-ax}\ge0$%. На положительные числа $%x-1$%, $%x-2$% эти неравенства можно сократить.

Легко видеть, что $%a=-1$% подходит: оба слагаемых неравенства равны нулю при всех $%x\ge3$%. Предположим, что $%a < -1$%. Тогда $%1-ax < 0$% или $%a+1-ax < 0$%. Ясно, что первое невозможно ввиду $%a < 0$%, $%x > 0$%. Второе также невозможно, так как при $%x > 1$% левая часть больше единицы.

Итак, далее считаем, что $%a > -1$%. Теперь нас интересуют неравенства $%ax < 1$% и $%ax < a+1$%. При условии $%a\le0$% все $%x\ge3$% подойдут: оба слагаемых исходного неравенства будут неотрицательными. Таким образом, $%a\in[-1;0]$% войдут в ответ, и далее полагаем $%a > 0$%.

Как уже было отмечено, хотя бы одно из неравенств $%a < \frac1x$% или $%a < \frac1{x-1}$% должно быть справедливо при некотором $%x\ge3$%. Из этого следует, что $%a < 1$%. Рассмотрим неравенство $%\frac{x-a}{1-ax} > 0$%, которое является необходимым условием. Из него следует, что $%x\in(a;\frac1a)$%, и такому условию должны удовлетворять по крайней мере три натуральных числа $%x\ge3$%. Поэтому $%5 < \frac1a$%, то есть $%a < \frac15$%. При таком условии будут выполнены неравенства $%a < \frac1x < \frac1{x-1}$% при $%x\in\{3;4;5\}$%, то есть три целочисленных решения найдутся (оба слагаемых исходного неравенства окажутся положительными).

Окончательно имеем ответ $%a\in[-1;\frac15)$%.

ссылка

отвечен 26 Май '14 21:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×312
×204

задан
26 Май '14 2:25

показан
469 раз

обновлен
26 Май '14 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru