Здравствуйте. Задание следующее: решить краевую задачу для уравнения теплопроводности методом Фурье. Даны следующие данные Ut=Uxx;Ux(0,t)=Ux(1,t)=0;U(x,0)=2sin^2((Pi*x)/2)

задан 26 Май '14 9:38

изменен 26 Май '14 21:23

Deleted's gravatar image


126

Есть стандартный алгоритм решения подобных задач, описанный в любом учебнике по уравнениям математической физике. Не вываливайте сюда свое домашнее задание.

(26 Май '14 9:46) cartesius

Мне вот на этом примере и хотелось бы разобраться,Falcao в подобных случаях помогал

(26 Май '14 9:47) ivan145

Помощь уместна, когда человек пытается решить, а у него что-то не получается.

(26 Май '14 10:53) cartesius

Пишу здесь,потому что там нет места,http://alexandr4784.narod.ru/B12/b12_2_22.pdf посмотрел по этой ссылке,там Xk находится через sin,Там пишется,что все зависит от граничных условий,и если U(0,t)=0 и U(l,t)=0,то решение Xn=(Pinx)/l.А есть второй частный случай где будет cos в ф-ле,но по-моему он не подходит,или я не прав?

(26 Май '14 11:49) ivan145

Там есть сдвиг на $%\Theta_n$%. Как известно, косинус можно таким образом выразить через синус, но смысл? И там рассматривается более общая задача. Если у Вас задача проще и Вы понимаете процесс нахождения решения, то не надо усложнять себе жизнь.

(26 Май '14 12:03) cartesius

Как я понял, у меня краевая задача второго рода?Поэтому ф-ла Xn=cos(Pinx/l),или же у меня задача первого рода,и надо было выражать Xn=sin(Pinx/l).Там чуть ниже рассматриваются частные случаи и там написано,когда sin,а когда cos,Или это не имеет значения?

(26 Май '14 12:08) ivan145

Это даже не важно (если Вы не продолжаете функции четным/нечетным образом): все должно получиться автоматически. У меня получились косинусы чисто за счет того, что коэффициент перед синусом обнулился. При этом я совершенно не задумывалась, какого рода у меня задача.

Такой синус в Вашем случае просто не мог получиться.

(26 Май '14 13:29) cartesius
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

Начало следующее: требуете, чтобы функция была представлена в виде $%U=T(t)X(x)$%, подставляете ее в уравнение. Получите $%T'X=TX''$%, делите на $%TX$%, откуда $$\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}=-\lambda.$$ Число $%\lambda$% берется из тех соображений, что правая часть зависит от $%x$%, а левая - от $%t$%, что возможно только когда они обе константы. Причем имеет смысл рассматривать только случай $%\lambda\geqslant 0$%, иначе получится только тривиальное решение.

Из уравнения $%X''/X=-\lambda$%, то есть $$X''+\lambda X=0$$ находите решение $%X=C_1\cos\sqrt{\lambda}x+C_2\sin\sqrt{\lambda}x$%.

Из условия следует, что $%X'(0)=X'(1)=0$%, откуда $%C_2=0$% и $%C_1\sin\sqrt{\lambda}=0$%. Чтобы получить нетривиальное решение, $%\sin\sqrt{\lambda}=0$%, откуда $%\sqrt{\lambda}=\pi k,k\geqslant 0$%. В результате получается, что каждое $%X_k=C_k\cos\pi k x$% дает решение уравнения. При этом, решая $%T'/T=-\lambda$%, получим $%T_k(t)=A_ke^{-\pi^2 k^2 t}$% то есть $$U=\sum_{k\geqslant 0}C_k\cos\pi k x\cdot e^{-\pi^2 k^2 t}.$$

Дальше используете вторые условия, чтобы определить коэффициенты $%C_k$%: $$U(x,0)=\sum_{k\geqslant 0}C_k\cos\pi k x=2\sin^2(\pi x/2).$$ Тогда, домножая обе части на $%\cos(\pi k x)$% и интегрируя, в силу ортогональности системы $%\cos\pi k x,\sin\pi k x$% мы можем найти коэффициенты $%C_k$% из условия $$C_k\int_0^1\cos^2(\pi k x)dx=\int_0^12\sin^2(\pi x/2)\cos(\pi k x)dx,$$ откуда при $%k>0$% $$C_k= 2\int_0^12\sin^2(\pi x/2)\cos(\pi k x)dx=2\int_0^1(1-\cos\pi x)\cos(\pi k x)dx=$$ $$2\int_0^1(\cos(\pi k x)-1/2\cos\pi(k+1)x-1/2\cos\pi(k-1)x)dx.$$ Получаем $%C_0=1, C_1=-1$% и $%C_k=0, k>1$%.

Ответ: $$U(x,t)=(1-\cos\pi x)\cdot e^{-\pi^2t}$$

ссылка

отвечен 26 Май '14 10:07

изменен 26 Май '14 12:05

Как я понимаю,для окончательного решения мне надо найти Ck?Или это уже окончательный ответ?И еще когда вы решали задачу Штурма-Лиувилля и получали Xk=CkCosPikx,Это правильно или должно быть Xk=SinPik*x?

(26 Май '14 10:51) ivan145

В решении где-то вычислительная ошибка. Предлагаю ее найти самостоятельно.

(26 Май '14 10:56) cartesius

Как я понимаю,Ошибка в выражении Xk?То есть Там вместо cos должен быть sin или я не прав?Или же ошибка при вычислении Ck?

(26 Май '14 11:01) ivan145

$$X=A\cos(\sqrt{\lambda}x)+B\sin(\sqrt{\lambda}x)$$ $$X'=-A\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda}x)+B\sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}x)$$ Тогда $$X'(0)=B\sqrt{\lambda}=0$$ и $%B=0$%. С учетом этого $$X'(1)=-A\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda})=0$$ и $%\sqrt{\lambda}=\pi k$%, т.е. $$X=A\cos(\pi kx)$$

(26 Май '14 11:01) cartesius

То есть до вычисления интеграла все верно.Дальше вы используете теорему Стеклова для вычисления коэффицента.Ошибка при вычислении интеграла?

(26 Май '14 11:07) ivan145

Нет, ошибка в том, что $%k$% может быть равно нулю.

(26 Май '14 11:13) cartesius

Но в условии,когда вы ищете Ck вы написали,что k>0,и что может измениться если k будет равно нулю?

(26 Май '14 11:18) ivan145

А Вы подставьте и проверьте. Там интеграл в левой части другой. Поэтому считается отдельно.

(26 Май '14 11:24) cartesius
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931

задан
26 Май '14 9:38

показан
2315 раз

обновлен
26 Май '14 13:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru