олимпиада - Правильная расстановка сосудов

Пусть:

1) N = {1, 2, ..., 10},

2) x(i, j) - имя i-го сосуда,

3) предложение "Сосуд x(i, j) перевёрнут вверх дном." равносильно предложению "x(i, j) = 0",

4) предложение "Сосуд x(i, j) стоит правильно." равносильно предложению "Сосуд x(i, j) не перевёрнут вверх дном.", которое равносильно предложению "x(i, j) = 1",

5) предложение "Сосуд x(i, j) перевернули." равносильно предложению "x(i, j + 1) = 1 - x(i, j)".

При сделанных предположениях условие задачи можно записать в виде

$% x(1,0) = 0 \wedge \forall i (i \in N \setminus \{1\} \rightarrow x(i,0) = 1) $%

$% \wedge $%

$% \forall j (j \in \mathbb{N} \rightarrow \exists m \exists n (\{m, n\} \subseteq N \wedge m \neq n \wedge $%

$% x(m,j) = 1 - x(m,j-1) \wedge x(n,j) = 1 - x(n,j-1) \wedge $%

$% \forall i (i \in N \setminus \{m,n\} \rightarrow x(i,j) = x(i,j-1)))) $%

Введём в рассмотрение меру правильности расстановки сосудов, а именно S(j) = x(1, j) + ... + x(10, j).

Используя указанную меру, запишем условие задачи в виде

$% x(1,0) = 0 \wedge \forall i (i \in N \setminus \{1\} \rightarrow x(i,0) = 1) \wedge S(0) = \sum_{i = 1}^{10} x(i, 0) $%

$% \wedge $%

$% \forall j (j \in \mathbb{N} \rightarrow \exists m \exists n (\{m, n\} \subseteq N \wedge m \neq n \wedge $%

$% x(m,j) = 1 - x(m,j-1) \wedge x(n,j) = 1 - x(n,j-1) \wedge $%

$% \forall i (i \in N \setminus \{m,n\} \rightarrow x(i,j) = x(i,j-1)) \wedge $%

$% S(j) = \sum_{i = 1}^{10} x(i, j) = S(j - 1) - (x(m,j - 1) + x(n, j - 1)) + (x(m, j) + x(n, j)) \ ))) $%

Докажите, что $$ \forall j (j \in \{0\} \cup \mathbb{N} \rightarrow S(j) \in \{1,3, 5, 7, 9\}) $$

@Галактион И что?
Решение такое: на каждом шаге не меняется четность числа "неправильных" сосудов. Поэтому получить из 1 (нечетное) 0 (четное) не удастся. Все-таки русский язык удобнее символьного!