Решить краевую задачу методом Фурье $$U_t=U_{xx}$$ $%U_x(0,t)=U(1,t)=0$%; $%U(x,0)=x^2-1$%; Я уже задавал подобный вопрос,но здесь задача смешанная,я хочу разобраться на этом примере,чтобы уметь решать подобные задачи

задан 26 Май '14 14:02

изменен 26 Май '14 17:06

cartesius's gravatar image


9.8k212

10|600 символов нужно символов осталось
1

Разницы почти никакой. Просто $%X(x)=A\cos\sqrt{\lambda}x+B\sin\sqrt{\lambda}x$% будут удовлетворять условиям $%X'(0)=X(1)=0$%, откуда $%B=0$% и $%A\cos\sqrt{\lambda}=0$%. Следовательно, $%\sqrt{\lambda}=\pi/2+\pi k,k\geqslant 0$%.

Метод тот же самый - можно делать по аналогии. Лучше, если не получится, выложите свое решение - найдем, где ошибаетесь. Или задайте вопрос, если какой-то шаг непонятен. Решать 10 раз одно и то же очень скучно.

ссылка

отвечен 26 Май '14 14:24

изменен 26 Май '14 14:26

Я начал делать,но не знаю правильно ли,я бы скинул фотографию но как это сделать?Напишу тогда вручную Xk=Cksin(pix/2+pikx),далее Tk=Ake^(-pi^2k^2t),дальше записываю U,потом U(x,0),потом пишу чему равно Ck(этот шаг не могу сделать).Правильно ли я начал?Если да помогите,пожалуйста,с нахождением Ck

(26 Май '14 16:13) ivan145

Хорошо заменил синус на косинус,остальное верно?То есть Xk=Ckcos(pix/2+pikx) это верно?И Ck=интеграл от 0 до 1(x^2-1cos(pix/2+pikx))правильно?

(26 Май '14 16:28) ivan145

Они совершенно не сложные. В принципе они посчитаны и в учебнике должны быть приведены их значения. Тут нужно понизить степень, используя либо $%\cos^2(x/2)=(\cos x+1)/2$%, либо (при $%n\neq k$%) использовать формулу "сумма косинусов/синусов".

$$\int_0^1\cos^2(\pi/2x+\pi kx)dx=1/2\int_0^1(\cos(\pi x+2\pi kx)+1)dx=\ldots$$

$$\int_0^1\cos(\pi/2x+\pi kx)\cos(\pi/2x+\pi nx)dx=1/2\int_0^1(\cos(\pi(k+n+1) x)+\cos(\pi(k-n) x))dx=\ldots$$

(26 Май '14 16:46) cartesius

Получаются какие-то сложные интегралы,может можно их как-то упростить?Как раз-таки это самая сложная часть не могли бы вы объяснить ее в подробностях?

(26 Май '14 16:48) ivan145

Нет. Вы получили $%X_k$% и $%T_k$%. Затем перемножаете их и суммируете - получаете $%U(x,t)=\sum_{k\geqslant 0}C_k\cos(\pi/2x+\pi kx)e^{-(\pi/2+\pi k)^2t}$%. Подставляете в начальное условие. получаете $$U(x,0)=\sum_{k\geqslant 0}C_k\cos(\pi/2x+\pi kx)dx.$$ Вы домножаете ОБЕ части на $%\cos(\pi/2x+\pi nx)$% и берете интеграл. Получится $$\int_0^1U(x,0)\cos(\pi/2x+\pi nx)dx=\sum_{k\geqslant 0}C_k\int_0^1\cos(\pi/2x+\pi k x)\cos(\pi/2x+\pi nx)dx$$

В правой части все занулится, кроме одного слагаемого: $%C_n\ldots$%. И из этого соотношения его выражаете.

(26 Май '14 16:58) cartesius

Вы почти правы, но не $%C_k$% равно этому интегралу, а $%C_k$% еще может быть умножен на коэффициент: $%C_k\int_0^1\cos(\pi/2x+\pi k x)\cos(\pi/2x+\pi kx)dx$%. Этот интеграл - просто число, зависящее от $%k$%.

(26 Май '14 17:00) cartesius

Интеграл посчитал,он равен 2.Дальше нахожу Ck,можете сказать чему равно Ck? а вычисления я сделаю сам

(26 Май '14 20:28) ivan145

У меня получилось $$\int_0^1\cos(\pi/2x+\pi k x)\cos(\pi/2x+\pi kx)dx=1/2$$ и $$\int_0^1U(x,0)\cos(\pi/2x+\pi nx)dx=-\frac{16\sin(\pi/2+\pi n)}{\pi^3(2n+1)^3}=\frac{16\cdot(-1)^{n+1}}{\pi^3(2n+1)^3}$$ Откуда $%C_n=\frac{32\cdot(-1)^{n+1}}{\pi^3(2n+1)^3}$%

(26 Май '14 20:58) cartesius
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931

задан
26 Май '14 14:02

показан
482 раза

обновлен
26 Май '14 20:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru