|
Пусть (G=A*B;H) – свободное произведение групп A и B с объединенной подгруппой H. Пусть f=x1x2…xr и g=y1y2…yr – несократимые записи элементов f и g группы G. Равенство f=g имеет место тогда и только тогда, когда r=s и при r>1 в подгруппе H найдутся элементы h1,h2,…,h(r-1) такие, что x1=y1h1, xr=h(r-1)^(-1)yr и xi=h(i-1)^(-1)yihi для любого номера i=1,2,3,…,r-1. задан 27 Май '14 1:06 
volakir |
|
В условии имеется опечатка: длины элементов здесь, вообще говоря, разные, поэтому если $%f=x_1\ldots x_r$%, то $%g=y_1\ldots y_s$%, и уже потом идёт доказательство того, что $%r=s$% при некоторых условиях. Предположим, что $%f=g$% в группе $%G$%. Тогда последовательность элементов, соответствующих элементу $%g^{-1}f$%, равному единице, то есть $%y_s^{-1},\ldots,y_1^{-1},x_1,\ldots,x_r$%, не является приведённой. Это значит, что элементы $%x_1$%, $%y_1$% взяты из одного и того же сомножителя, причём $%y_1^{-1}x_1\in H$%. Полагаем $%y_1^{-1}x_1=h_1\in H$%, то есть $%x_1=y_1h_1$%. Далее получается последовательность, у которой в середине имеется элемент $%y_2^{-1}h_1x_2$%, который также должен лежать в $%H$%: в противном случае последовательность будет приведена и представляет неединичный элемент. Обозначим такой элемент через $%h_2\in H$%, откуда $%x_2=h_1^{-1}y_2h_2$%, и так далее. Если $%r\ne s$%, то этот процесс приведёт к появлению непустой приведённой последовательности. Следовательно, $%r=s$%, и в самом конце возникнет элемент одного из сомножителей вида $%y_r^{-1}h_{r-1}x_r$%, равный единице, откуда $%x_r=h_{r-1}^{-1}y_r$%, то есть все условия выполнены. В обратную сторону утверждение очевидно, так как если условия выполнены, то после сокращений одно произведение превратится в другое (что видно также из описанного выше процесса). отвечен 27 Май '14 9:34 
falcao |