Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=11 и CD=41 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Помогите, пожалуйста. Попалась задача из варианта экзаменационного, не могу никак решить. Понятно, что здесь свойство равенства суммы противоположных углов. Но что дальше?

задан 27 Май '14 9:51

изменен 27 Май '14 21:54

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%R$% -- искомый радиус. По теореме синусов, $%AB=2R\sin\angle ADB$% и $%CD=2R\sin\angle CAD$%. Углы в сумме дают 60 градусов (внешний угол), поэтому, полагая $%\varphi=\angle ADB$%, имеем $%11=2R\sin\varphi$% и $%41=2R\sin(\frac{\pi}3-\varphi)$%. Получается уравнение $%41\sin\varphi=11\sin(\frac{\pi}3-\varphi)=\frac{11}2(\sqrt3\cos\varphi-\sin\varphi)$%. Отсюда следует, что $%93\sin\varphi=11\sqrt3\cos\varphi$%. Возводя в квадрат и применяя основное тригонометрическое тождество, а также с учётом того, что синус угла положителен, получаем $%\sin\varphi=\frac{11}{\sqrt{3004}}$%. Из равенства $%R=\frac{11}{2\sin\varphi}$% получаем $%R=\sqrt{751}$%.

В общем случае получается $%R=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}3}$%, где $%a=11$%, $%b=41$%.

ссылка

отвечен 27 Май '14 19:23

Вот это задача, спасибо. Она точно не для 9-го класса)

(28 Май '14 4:36) ENERGzR
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
27 Май '14 9:51

показан
9413 раз

обновлен
28 Май '14 4:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru