|
Решить систему уравнений в целых числах $$\begin{cases}x+y+z=3\\x^3+y^3+z^3=3\end{cases}$$ задан 6 Апр '12 12:01 
Anatoliy |
|
Легко убедиться, что $%z=3$% не удовлетворяет. Запишем уравнения системы в виде $%\begin{cases} x+y=3-z\\xy= -3z+\frac{8}{3-z}\end{cases} $% . Так как $% xy $% целое число, значит $% 3-z\in{(\pm1;\pm2;\pm4;\pm8)}. $% Отсюда легко получаются все целые решения $%(4;4;-5),(4;-5;4),(-5;4;4),(1;1;1) . $% отвечен 6 Апр '12 16:13 
ASailyan Чтобы не доказывать отдельно, что z не равно 3, можно второе уравнение оставить в виде (xy + 3z)(3-z) = 8.
(7 Апр '12 9:35)
DocentI
Можно.Я просто в ходе преобразований убедилась,что при z=3 система из двух неизвестных не имеет решений.
(7 Апр '12 10:51)
ASailyan
А кто там так часто тренируется в логике ?
(7 Апр '12 10:53)
ASailyan
Какой-то любитель. Пусть пишет, если не лень. Толку от этих писаний никакого...
(7 Апр '12 13:30)
DocentI
|
|
Первое примечание к решению ASailyan $% z=3 \rightarrow (System[x,y,z] \leftrightarrow \{x,y,3\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x+y+3=3 \wedge x^3+y^3+3^3=3) $% $% \Rightarrow z=3 \rightarrow (System[x,y,z] \rightarrow x+y=0 \wedge x^3+y^3=-24) $% $% \Leftrightarrow z=3 \wedge System[x,y,z] \rightarrow y=-x \wedge x^3+y^3=-24 $% $% \Rightarrow z=3 \wedge System[x,y,z] \rightarrow x^3+(-x)^3=-24 $% $% \Leftrightarrow z=3 \wedge System[x,y,z] \rightarrow 0=24 $% $% \Leftrightarrow 0 \neq 24 \rightarrow z \neq 3 \vee \neg System[x,y,z] $% $% \Leftrightarrow True \rightarrow (z=3 \rightarrow \neg System[x,y,z]) $% $% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow \neg System[x,y,z] $% $% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow (\neg System[x,y,z] \leftrightarrow True) $% $% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow (System[x,y,z] \leftrightarrow \neg True) $% $% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow (System[x,y,z] \leftrightarrow False) $% $% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow (\{x,y,z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y + z = 3 \wedge x^3 + y^3 + z^3 = 3 \leftrightarrow False) $% Второе примечание к решению ASailyan $%\{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y + z = 3 \wedge x^3 + y^3 + z^3 = 3 \wedge z \neq 3$% $% \Leftrightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge x^3 + y^3 = 3 - z^3 \wedge z \neq 3 $% $% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2) = 3 - z^3 \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$% $% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge \frac{(x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2)}{x + y} = \frac{3 - z^3}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$% $% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge x^2 - xy + y^2 = z^2 + 3z + 9 - \frac{24}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$% $% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge (x + y)^2 - 3xy = z^2 + 3z + 9 - \frac{24}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$% $% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge (3 - z)^2 - 3xy = z^2 + 3z + 9 - \frac{24}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$% $% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge - 3xy = + 9z - \frac{24}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$% $% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge xy = -3z + \frac{8}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$% отвечен 6 Апр '12 22:54 
Галактион И не лень Вам столько формул набирать. У-ф-ф-ф.
(7 Апр '12 9:36)
DocentI
Милые женщины! Ну зачем вы так пренебрежительно говорите о Галактионе? У вас же не личная переписка. Радоваться надо тому, что среди вас, математиков, есть такой оригинал!
(18 Июн '12 7:36)
nikolaykruzh...
1
Упорно повторяющаяся однотипная оригинальность постепенно превращается в свою противоположность - в занудство.
(9 Июл '12 21:10)
Андрей Юрьевич
|
Удивительно, как раз недавно обсуждали эту задачу, когда готовили олимпиаду (не включили, все-таки). Завтра будем проводить олимпиаду памяти Владимира Ростиславовича Фридлендара, который 47 лет был членом и более 30 - председателем жюри нашей республиканской олимпимады и вырастил сам и через своих учеников всех нас - членов жюри! Светлая ему память!
У вас подготовление олимпиад видно на высоком уровне,есть хорошие традиции.После олимпиады пожалуйста предлагайте нам некоторые из выбранных вами задач.
Наши Казанские олимпиады начались еще в 1937 г., одними из первых в России. Кстати, в их организации участвовал мой прадедушка, потом отец. Так что это у нас семейное. На республиканские задачи присылает Москва. А на город и район мы обычно выбираем из мировых запасов, но иногда и придумываем. Кое-что из своего я здесь опубликовала. Кстати, на завтра я взяла одну задачу из этого форума (пока не скажу, какую...)!