Решить систему уравнений в целых числах

$$\begin{cases}x+y+z=3\\x^3+y^3+z^3=3\end{cases}$$

задан 6 Апр '12 12:01

изменен 6 Апр '12 12:20

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Удивительно, как раз недавно обсуждали эту задачу, когда готовили олимпиаду (не включили, все-таки). Завтра будем проводить олимпиаду памяти Владимира Ростиславовича Фридлендара, который 47 лет был членом и более 30 - председателем жюри нашей республиканской олимпимады и вырастил сам и через своих учеников всех нас - членов жюри! Светлая ему память!

(6 Апр '12 12:05) DocentI
1

У вас подготовление олимпиад видно на высоком уровне,есть хорошие традиции.После олимпиады пожалуйста предлагайте нам некоторые из выбранных вами задач.

(6 Апр '12 16:50) ASailyan

Наши Казанские олимпиады начались еще в 1937 г., одними из первых в России. Кстати, в их организации участвовал мой прадедушка, потом отец. Так что это у нас семейное. На республиканские задачи присылает Москва. А на город и район мы обычно выбираем из мировых запасов, но иногда и придумываем. Кое-что из своего я здесь опубликовала. Кстати, на завтра я взяла одну задачу из этого форума (пока не скажу, какую...)!

(6 Апр '12 17:03) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Легко убедиться, что $%z=3$% не удовлетворяет. Запишем уравнения системы в виде

$%\begin{cases} x+y=3-z\\xy= -3z+\frac{8}{3-z}\end{cases} $% .

Так как $% xy $% целое число, значит $% 3-z\in{(\pm1;\pm2;\pm4;\pm8)}. $% Отсюда легко получаются все целые решения $%(4;4;-5),(4;-5;4),(-5;4;4),(1;1;1) . $%

ссылка

отвечен 6 Апр '12 16:13

изменен 6 Апр '12 17:26

Чтобы не доказывать отдельно, что z не равно 3, можно второе уравнение оставить в виде (xy + 3z)(3-z) = 8.

(7 Апр '12 9:35) DocentI

Можно.Я просто в ходе преобразований убедилась,что при z=3 система из двух неизвестных не имеет решений.

(7 Апр '12 10:51) ASailyan

А кто там так часто тренируется в логике ?

(7 Апр '12 10:53) ASailyan

Какой-то любитель. Пусть пишет, если не лень. Толку от этих писаний никакого...

(7 Апр '12 13:30) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Первое примечание к решению ASailyan

$% z=3 \rightarrow (System[x,y,z] \leftrightarrow \{x,y,3\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x+y+3=3 \wedge x^3+y^3+3^3=3) $%

$% \Rightarrow z=3 \rightarrow (System[x,y,z] \rightarrow x+y=0 \wedge x^3+y^3=-24) $%

$% \Leftrightarrow z=3 \wedge System[x,y,z] \rightarrow y=-x \wedge x^3+y^3=-24 $%

$% \Rightarrow z=3 \wedge System[x,y,z] \rightarrow x^3+(-x)^3=-24 $%

$% \Leftrightarrow z=3 \wedge System[x,y,z] \rightarrow 0=24 $%

$% \Leftrightarrow 0 \neq 24 \rightarrow z \neq 3 \vee \neg System[x,y,z] $%

$% \Leftrightarrow True \rightarrow (z=3 \rightarrow \neg System[x,y,z]) $%

$% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow \neg System[x,y,z] $%

$% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow (\neg System[x,y,z] \leftrightarrow True) $%

$% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow (System[x,y,z] \leftrightarrow \neg True) $%

$% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow (System[x,y,z] \leftrightarrow False) $%

$% \Leftrightarrow z=3 \rightarrow (\{x,y,z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y + z = 3 \wedge x^3 + y^3 + z^3 = 3 \leftrightarrow False) $%

Второе примечание к решению ASailyan

$%\{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y + z = 3 \wedge x^3 + y^3 + z^3 = 3 \wedge z \neq 3$%

$% \Leftrightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge x^3 + y^3 = 3 - z^3 \wedge z \neq 3 $%

$% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2) = 3 - z^3 \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$%

$% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge \frac{(x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2)}{x + y} = \frac{3 - z^3}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$%

$% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge x^2 - xy + y^2 = z^2 + 3z + 9 - \frac{24}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$%

$% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge (x + y)^2 - 3xy = z^2 + 3z + 9 - \frac{24}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$%

$% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge (3 - z)^2 - 3xy = z^2 + 3z + 9 - \frac{24}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$%

$% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge - 3xy = + 9z - \frac{24}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$%

$% \Rightarrow \{x, y, z\} \subseteq \mathbb{Z} \wedge x + y = 3 - z \wedge xy = -3z + \frac{8}{3 - z} \wedge z \neq 3 \wedge x + y \neq 0$%

ссылка

отвечен 6 Апр '12 22:54

изменен 7 Июл '12 20:43

И не лень Вам столько формул набирать. У-ф-ф-ф.

(7 Апр '12 9:36) DocentI

Милые женщины! Ну зачем вы так пренебрежительно говорите о Галактионе? У вас же не личная переписка. Радоваться надо тому, что среди вас, математиков, есть такой оригинал!

(18 Июн '12 7:36) nikolaykruzh...
1

Упорно повторяющаяся однотипная оригинальность постепенно превращается в свою противоположность - в занудство.

(9 Июл '12 21:10) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,036
×107

задан
6 Апр '12 12:01

показан
1940 раз

обновлен
9 Июл '12 21:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru