Найти размерность и базис подпространства. Подпространства задано условиями: является подпространством, пространства R^n, и координаты векторов удовлетворяют условию x1+x2+...+xn=0. Помогите пожалуйста с решением!

задан 27 Май '14 12:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

Проверьте, что фундаментальная система решений этого уравнения будет состоять из векторов $%(1,0,0,\ldots,0,-1)$%, $%(0,1,0,\ldots,0,-1)$%, $%(0,0,1,\ldots,0,-1)$%, $%(0,0,0,\ldots,1,-1)$%.

Размерность линейного многообразия, определенного системой линейных уравнений, равно числу векторов в фундаментальной системе решений. Если система однородная, то фундаментальная система решений образует базис векторного пространства.

ссылка

отвечен 27 Май '14 12:22

изменен 27 Май '14 12:23

Я в этом не очень шарю (чего не дано), подходил к преподавателю, она сказала построить произвольный базис, типо того, что вы предложили, и привести его к ступенчатому виду, (1,0,0,...,0,-1)...(0,0,0,...,1,-1), получилось так, что последняя строчка выпала из ступенчатого вида, и размерность получилась dim B = n-1, а, что дальше делать понятия не имею, по идеи нужно же доказать, что система вектор строк линейно независима, и через неё любой вектор должен выражаться?

(27 Май '14 12:31) Dima_9559

Собственно, больше ничего и не надо: размерность Вы нашли, базис получили. Что это базис - на это есть соответствующие теоремы.

(27 Май '14 12:34) cartesius

Да же так) чё то я запутался) то есть полученный фундаментальный набор решений и есть базис, и мы нашли его размерность? а теоремы которые подтверждают, что это базис вы не могли бы подсказать? просто как то странно получается. Или это и так видно? просто я слабо ориентируюсь в этом материале, знают ток некоторые определения...

(27 Май '14 12:39) Dima_9559

Во-первых, теорема о ранге матрицы. Чтобы определить максимальное число линейно независимых векторов, надо составить матрицу (как это сделали Вы) и посчитать ее ранг. Это и будет числом линейно независимых векторов.

Во-вторых, теорема о фундаментальной системе решений. Ее можно сформулировать так: Размерность подпространства в $%\mathbb{R}^n$%, которое определено системой ранга $%k$% равно $%n-k$%. Т.е. находите ранг вашей системы (из одного уравнения): тоже записываете в матрицу. Ясно, что это строка и она уже имеет ступенчатый вид. То есть ранг равен 1.

(27 Май '14 12:46) cartesius

Вроде бы стало немного яснее) Огромное спасибо за помощь!)

(27 Май '14 12:55) Dima_9559

@Dima_9559: когда дано равенство $%x_1+\cdots+x_n=0$%, то первые $%n-1$% чисел выбираются произвольно, а последнее равно их сумме, взятой со знаком минус. Общий вид вектора таков: $%(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_1-\cdots-x_{n-1})$%, что далее представляется в виде линейной комбинации указанных выше векторов с коэффициентами $%x_i$%. Такое представление существует и единственно (если изменить коэффициент, то изменится вектор). Значит, мы имеем дело с базисом, согласно одному из его определений. Размерность всегда равна числу векторов базиса (и числу "свободных" параметров).

(27 Май '14 19:29) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×86

задан
27 Май '14 12:17

показан
1418 раз

обновлен
27 Май '14 19:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru