Пусть K = < RxR,(+),(x) >, где (a,b)(+)(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)(x)(c,d)=(ac-bd,ad+bc). Является ли отображение f: R → RxR гомоморфизм колец, если f(a)=(a,a).

задан 27 Май '14 15:06

изменен 27 Май '14 15:09

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нет. $%f(1)=(1,1)$%. Если $%f$% - гомоморфизм, то $%f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1)$%. Но $$f(1\cdot 1)=f(1)=(1,1), $$ а $$f(1)\cdot f(1)=(1,1)\times (1,1)=(0,2)$$

ссылка

отвечен 27 Май '14 15:42

Если предполагается гомоморфизм колец с единицей, то второе объяснение: $%(1,1)$% - не единица кольца.

(27 Май '14 15:45) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
2

По сути дела, речь идёт об отображении $%a\mapsto a+ai$% из $%{\mathbb R}$% в $%{\mathbb C}$%. Сумма при этом сохраняется, а произведение уже нет, поскольку $%(1+i)^2\ne1$%.

Формально: $%f(1)=(1;1)$%; $%f(1)\cdot f(1)=(1;1)\cdot(1;1)=(1\cdot1-1\cdot1;1\cdot1+1\cdot1)=(0;2)\ne(1;1)=f(1)$%, то есть равенство $%f(ab)=f(a)f(b)$% не выполнено при $%a=b=1$%. Следовательно, $%f$% не будет гомоморфизмом колец.

ссылка

отвечен 27 Май '14 15:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×254

задан
27 Май '14 15:06

показан
652 раза

обновлен
27 Май '14 15:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru