геометрия - Найти площадь треугольника

Треугольники $%ABC$% и $%LMC$% подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен $%AB:LM=3:1$%. Поэтому площадь второго треугольника равна $%\frac19$% от площади первого, и тогда площадь четырехугольника $%ABLM$%, равная $%2$%, составляет $%\frac89$% от площади $%ABC$%, откуда $%S_{ABC}=\frac94$%. Из этого следует, что высота этого треугольника, опущенная из вершины $%C$%, равна $%\frac32$%. Высота треугольника $%LMC$%, она же -- высота $%KNC$%, опущенная из той же вершины, в три раза меньше, то есть она равна $%\frac12$%, и тогда $%S_{KNC}=\frac14KN$%. Таким образом, задача сводится к нахождению длины хорды $%KN$%.

Радиус окружности, описанной около $%ABC$%, равен $%R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac52$%. Расстояние от центра $%O$% описанной окружности до стороны $%AB$% равно $%\sqrt{(\frac52)^2-(\frac32)^2}=2$%. Расстояние от точки $%C$% до прямой $%AB$% равно $%\frac32$%, как было установлено выше. Следовательно, проекция отрезка $%OC$% на прямую, перпендикулярную $%AB$%, равна $%2-\frac32=\frac12$%. По теореме Пифагора, проекция того же отрезка на прямую $%AB$%, равна $%\sqrt{(\frac52)^2-(\frac12)^2}=\sqrt6$%. Теперь можно найти длины сторон $%BC$% и $%AC$%. Их проекции на прямую $%AB$% равны $%\sqrt6\pm\frac32$%, а проекции на перпендикулярную прямую равна $%\frac32$%, откуда их длины получаются равными $%\sqrt{(\frac32\pm\sqrt6)^2+(\frac32)^2}=\sqrt{3(\frac72\pm\sqrt6)}$%. Для определённости, пусть знак "плюс" соответствует длине стороны $%BC$%, а знак "минус" длине $%AC$%.

Теперь мы знаем длины $%CM=\frac13BC$% и $%CL=\frac13AC$%. Положим $%KM=u$%, $%LN=v$%. Из известного свойства пересекающихся хорд составляем уравнения $%u(1+v)=KM\cdot MN=CM\cdot MA=\frac29AC^2$% и $%v(1+u)=NL\cdot LK=CL\cdot LB=\frac29BC^2$%. Решая полученную систему (например, через квадратное уравнение), находим $%u$% и $%v$%, а также $%KN=u+v+1=\sqrt{9+\frac83\sqrt6}$%. Умножая на $%\frac14$%, получаем площадь $%KNC$%.