В треугольнике ABC известно, что длина AB равна 3, ∠АСВ=arcsin(3/5). Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. При этом ∠ABC = ∠CML, площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1. Найдите площадь треугольника KNC.

задан 28 Май '14 0:08

10|600 символов нужно символов осталось
2

Треугольники $%ABC$% и $%LMC$% подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен $%AB:LM=3:1$%. Поэтому площадь второго треугольника равна $%\frac19$% от площади первого, и тогда площадь четырехугольника $%ABLM$%, равная $%2$%, составляет $%\frac89$% от площади $%ABC$%, откуда $%S_{ABC}=\frac94$%. Из этого следует, что высота этого треугольника, опущенная из вершины $%C$%, равна $%\frac32$%. Высота треугольника $%LMC$%, она же -- высота $%KNC$%, опущенная из той же вершины, в три раза меньше, то есть она равна $%\frac12$%, и тогда $%S_{KNC}=\frac14KN$%. Таким образом, задача сводится к нахождению длины хорды $%KN$%.

Радиус окружности, описанной около $%ABC$%, равен $%R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac52$%. Расстояние от центра $%O$% описанной окружности до стороны $%AB$% равно $%\sqrt{(\frac52)^2-(\frac32)^2}=2$%. Расстояние от точки $%C$% до прямой $%AB$% равно $%\frac32$%, как было установлено выше. Следовательно, проекция отрезка $%OC$% на прямую, перпендикулярную $%AB$%, равна $%2-\frac32=\frac12$%. По теореме Пифагора, проекция того же отрезка на прямую $%AB$%, равна $%\sqrt{(\frac52)^2-(\frac12)^2}=\sqrt6$%. Теперь можно найти длины сторон $%BC$% и $%AC$%. Их проекции на прямую $%AB$% равны $%\sqrt6\pm\frac32$%, а проекции на перпендикулярную прямую равна $%\frac32$%, откуда их длины получаются равными $%\sqrt{(\frac32\pm\sqrt6)^2+(\frac32)^2}=\sqrt{3(\frac72\pm\sqrt6)}$%. Для определённости, пусть знак "плюс" соответствует длине стороны $%BC$%, а знак "минус" длине $%AC$%.

Теперь мы знаем длины $%CM=\frac13BC$% и $%CL=\frac13AC$%. Положим $%KM=u$%, $%LN=v$%. Из известного свойства пересекающихся хорд составляем уравнения $%u(1+v)=KM\cdot MN=CM\cdot MA=\frac29AC^2$% и $%v(1+u)=NL\cdot LK=CL\cdot LB=\frac29BC^2$%. Решая полученную систему (например, через квадратное уравнение), находим $%u$% и $%v$%, а также $%KN=u+v+1=\sqrt{9+\frac83\sqrt6}$%. Умножая на $%\frac14$%, получаем площадь $%KNC$%.

ссылка

отвечен 28 Май '14 12:15

@falcao : а в ответе почему-то 0,5

(29 Май '14 11:34) stander

@stander: меня тоже несколько смутил "некрасивый" ответ, но я его несколько раз перепроверил. Здесь всё очень сильно зависит от чисел, поэтому проверьте, на всякий случай, данные из условия.

(29 Май '14 11:48) falcao

Данные сходятся, странно всё это. Тем не менее благодарю за помощь.

(1 Июн '14 15:42) stander
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,710
×1,077
×670
×242
×239

задан
28 Май '14 0:08

показан
1905 раз

обновлен
1 Июн '14 15:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru