$$\int_0^ \propto ( \frac{dx}{( x^{2}+1 )(x^{2}+4)} )$$

задан 28 Май '14 12:53

изменен 28 Май '14 22:15

Deleted's gravatar image


126

Каким методом полагается решать? Можно обычным способом (это совсем просто), можно с помощью вычетов -- если это задача по комплексному анализу.

(28 Май '14 14:29) falcao

Раз метка "комплексные числа" и предыдущие несколько вопросов были на тему комплексных чисел, то, надо полагать, с помощью вычетов.

С помощью вычетов не менее просто: нужно сосчитать вычеты в точках $%i$% и $%2i$% и результат поделить пополам (симметрия).

(28 Май '14 15:11) cartesius

@cartesius: я такой вариант и рассматривал как наиболее правдоподобный, но хотел сначала уточнить. Мало ли -- могло быть так, что сначала повторили "старый" способ, а чуть позже посчитали при помощи "нового", после изучения соответствующего раздела.

(28 Май '14 18:39) falcao

@sasha001, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(28 Май '14 22:15) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
2

Найдем интеграл $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{( x^{2}+1 )(x^{2}+4)}$$ тогда в силу четности подинтегральной функции исходный интеграл равен его половине.

Знаменатель функции $%f=\frac{1}{( x^{2}+1 )(x^{2}+4)}$% обращается в нуль в точках $%\pm i$%, $%\pm 2i$%. Нас интересуют только те, которые лежат в верхней полуплоскости.

По теореме Коши этот интеграл равен $$I = 2\pi i(res_if+res_{2i}f)$$

Вычет - это коэффициент при $%\frac{1}{z-z_0}$%, то есть $$res_if=\frac{1}{( i+i)(i-2i)(i+2i)}=2/(12i)$$ b $$res_{2i}f=\frac{1}{( 2i-i)(2i+i)(2i+2i)}=-1/(12i)$$

Откуда $$I=2\pi i(2/(12i)-1/(12i))=\pi/6$$

В ответе - половина: $%\pi/12$%.

ссылка

отвечен 28 Май '14 15:37

изменен 28 Май '14 15:38

Большое спасибо!!!

(28 Май '14 17:18) sasha001
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,325
×499

задан
28 Май '14 12:53

показан
627 раз

обновлен
28 Май '14 22:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru