$$sinx + cosx + sinx*cosx = 1$$

задан 28 Май '14 23:01

изменен 29 Май '14 22:25

Deleted's gravatar image


126

@Асель, Это уравнение традиционно решается с помощью замены:

t=sinx+cosx. Тогда t^2=1+2sinxcosx, откуда sinxcosx=(t^2-1)/2 и мы получаем квадратное уравнение относительно t. корни которого:

t=-3(что не дает решений) и t=1.

sinx+cosx=1. sqrt(2)*sin(x+pi/4)=1. Далее очевидно...

(29 Май '14 1:36) nynko
10|600 символов нужно символов осталось
1

Замена tg(x/2)=t. Тогда sinx=2t/1+t^2, cosx=1-t^2/1+t^2. После преобразований получим, что :tg(x/2)=0 и 1

ссылка

отвечен 28 Май '14 23:45

@epimkin: при таком способе замены надо отдельно проверять те возможные корни, когда тангенс не определён. Эта ситуация уже как-то обсуждалась.

(29 Май '14 2:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Замена: $%\sin (x) = a \in [ - 1;1]$%, $% \ \cos (x) = b \in [ - 1;1]$%

$%\begin{cases}a+b+ab=1\\a^2+b^2=1\end{cases}=>\begin{cases}a+b+ab=1\\(a+b)^2-2ab=1\end{cases}$%

Замена: $%a + b = m \in [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]$%, $% \ \ ab = n \in [ - \frac{1}{2};\frac{1}{2}]$%

$%\begin{cases}m+n=1\\m^2-2n=1\end{cases}=>\begin{cases}m=1-n\\n^2-4n=0\end{cases}=>\begin{cases}m=1-n\\n=0\\n = 4 \in \emptyset \end{cases}=>\begin{cases}m=1\\n=0\end{cases}$%

Делаем обратную замену: $%\begin{cases}a+b=1\\ab=0\end{cases}=>\begin{cases}a=1-b\\(1-b)b=0\end{cases}=>\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} a=1 \\ b=0 \\ \end{gathered} \right. \\ \left\{ \begin{gathered} a=0 \\ b=1 \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} \right. => \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} \sin(x)=1 \\ \cos(x)=0 \\ \end{gathered} \right. \\ \left\{ \begin{gathered} \sin(x)=0 \\ \cos(x)=1 \\ \end{gathered} \right.\end{gathered} \right.$%

Далее из совокупности получаем Ответ: $%x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,\,n \in Z$% или $%x = 2\pi k,\,\,\,k \in Z$%

ссылка

отвечен 29 Май '14 0:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947

задан
28 Май '14 23:01

показан
753 раза

обновлен
29 Май '14 2:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru