математический-анализ - Дифференциал функции многих переменных

Формула, которая здесь имеется в виду, имеет не степенной, а операторный вид. Смысл у неё вот какой. Если мы хотим найти первый дифференциал функции $%u$%, то надо найти частные производные первого порядка, то есть по $%x$%, по $%y$% и по $%z$%, домножая их на $%dx$%, $%dy$% и $%dz$% соответственно. Для дифференциала второго порядка нужно такую операцию повторить дважды, и в этом смысле производимое действие как бы возводится в квадрат. Но реально это соответствует следующему: надо найти все частные производные второго порядка, домножая их на произведение дифференциалов по этим же переменным. Случаев тут будет уже много: не 3, а 9. И производные будут такие: по $%x$% и по $%x$%; по $%x$% и по $%y$%; по $%x$% и по $%z$%; ... ; по $%z$% и по $%z$%. Аналогично, для дифференциала третьего порядка будет уже 27 слагаемых такого вида для всевозможных упорядоченных троек из переменных.

В данном случае всё обстоит проще, так как после первого дифференцирования по $%x$% переменная $%x$% исчезнет, и если мы ещё раз применим к той же функции дифференцирование по $%x$% (сразу или не сразу), то у нас получится 0. Это значит, что дифференцировать надо только по разным переменным, то есть один раз по $%x$%, один раз по $%y$% и один раз по $%z$% в том или ином порядке. От выбора порядка результат не зависит, но все порядки надо учитывать. На множестве из трёх переменных имеется $%3!=6$% перестановок, поэтому мы получим 6 одинаковых слагаемых. Если продифференцировать сначала по $%x$%, потом по $%y$% и в конце по $%z$%, то получится единица, которую мы домножаем на произведение дифференциалов $%dx\,dy\,dz$%. Шесть таких дифференциалов в сумме и дадут $%6\,dx\,dy\,dz$%.