Разложить на неприводимые над R: (x^2 - 1) + 1

задан 29 Май '14 14:37

Тут все правильно написано?

(29 Май '14 14:39) cartesius

(X^2-1)^n + 1

(29 Май '14 14:42) fred
10|600 символов нужно символов осталось
1

Нужно найти все комплексные корни уравнения $%(z^2-1)^n+1=0$%, а затем сгруппировать сопряжённые пары, получая многочлены вида $%(z-z_0)(z-\bar{z}_0)$%, коэффициенты которых будут вещественными.

Пусть $%n$% чётно, $%n=2m$%. Корнями уравнения $%w^{2m}=-1$% будут числа вида $%w=\cos\varphi_k+i\sin\varphi_k$%, где $%\varphi_k=\frac{\pi(1+2k)}{2m}$% при $%k$% от $%0$% до $%2m-1$%. Заметим, что $%\varphi_k < \pi$% при $%0\le k\le m-1$%.

Полагая $%w=z^2-1$%, приходим к уравнениям вида $%z^2=1+\cos\varphi_k+i\sin\varphi_k=2\cos\frac{\varphi_k}2(\cos\frac{\varphi_k}2+i\sin\frac{\varphi_k}2)$%. При $%0\le k\le m-1$% косинус половинного угла положителен, поэтому получается серия решений вида $%z=\pm\sqrt{2\cos\frac{\varphi_k}2}(\cos\frac{\varphi_k}4+i\sin\frac{\varphi_k}4)$%. Это даёт половину корней, а остальные будут сопряжены указанным.

Группируя сопряжённые корни вида $%z=\sqrt{2\cos\frac{\varphi_k}2}(\cos\frac{\varphi_k}4\pm i\sin\frac{\varphi_k}4)$%, получим $%m$% квадратных трёхчленов с действительными коэффициентами $%z^2-2z\sqrt{\cos\frac{\varphi_k}2}\cos\frac{\varphi_k}4+2\cos\frac{\varphi_k}2$%, а для сопряжённых корней оставшегося вида получаются трёхчлены $%z^2+2z\sqrt{\cos\frac{\varphi_k}2}\cos\frac{\varphi_k}4+2\cos\frac{\varphi_k}2$%. Произведение всех этих многочленов в количестве $%2m$% даст искомое разложение многочлена $%(z^2-1)^{2m}+1$% на неприводимые сомножители над полем $%{\mathbb R}$%.

Если $%n$% нечётно, $%n=2m+1$%, то в разложении возникнет сомножитель $%z^2$%, а остальные сомножители находятся аналогично. Формулы там получаются точно такие же, с заменой $%2m$% на $%2m+1$% у знаменателей чисел $%\varphi_k$%.

ссылка

отвечен 30 Май '14 2:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×291
×26

задан
29 Май '14 14:37

показан
461 раз

обновлен
30 Май '14 2:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru