теория-групп - Пересечение подгрупп конечного индекса

Предположение о конечной порождённости группы здесь не нужно, хотя в задачах похожего типа оно иногда требуется.

Зафиксируем некоторое множество $%\pi$% простых чисел. Через $%N_G$% обозначим пересечение всех нормальных подгрупп конечного $%\pi$%-индекса для всей группы $%G$%, а через $%N_H$% обозначим соответствующее пересечение для $%H$%. Проверим сначала, что $%N_H\le N_G$%.

Пусть $%g\in N_H$% -- произвольный элемент. Рассмотрим нормальную подгруппу $%K$% группы $%G$% конечного $%\pi$%-индекса. Пусть $%L=K\cap H$%. Ясно, что $%L$% нормальна в $%G$%, и тем более нормальна в $%H$%. Индекс подгруппы $%L$% в $%H$% делит индекс $%L$% в $%G$%, поэтому $%L$% будет нормальной подгруппой в $%H$% конечного $%\pi$%-индекса. Элемент $%g$%, согласно определению, принадлежит $%L$%, а потому принадлежит $%K$%. Поскольку $%K$% выбиралась произвольно, отсюда вытекает $%g\in N_G$%.

Докажем обратное включение. Для этого отметим такой факт: если имеются нормальные подгруппы $%K_1$% и $%K_2$% конечного $%\pi$%-индекса в некоторой группе $%M$%, то их пересечение обладает тем же свойством. Это следует из того, что пересечение будут ядром гомоморфизма группы $%M$% в прямое произведение $%(M/K_1)\times(M/K_2)$% двух конечных $%\pi$%-групп. Отмеченный выше факт распространяется на пересечение любого конечного числа нормальных подгрупп конечного $%\pi$%-индекса в группе $%M$%.

Рассмотрим произвольный элемент $%h\in N_G$%. Возьмём произвольную нормальную подгруппу $%K$% конечного $%\pi$%-индекса группы $%H$%. Достаточно доказать, что $%h\in K$%. Подгруппа $%K$%, вообще говоря, не обязана быть нормальной подгруппой в $%G$%. Рассмотрим пересечение всех сопряжённых ей подгрупп в $%G$%, то есть подгрупп вида $%g^{-1}Kg$%, где $%g\in G$%. Это пересечение будет нормальной подгруппой в $%G$%. В каждом правом смежном классе $%G$% по $%K$% выберем по элементу. Тогда для любого $%g\in G$% сопряжённая подгруппа $%g^{-1}Kg$% совпадёт с одной из конечного множества подгрупп вида $%a^{-1}Ka$%, где $%a$% -- один из конечного числа выбранных представителей смежных классов. Поэтому пересечение всех подгрупп вида $%g^{-1}Kg$% совпадёт с пересечением конечного числа подгрупп такого вида. Все они содержатся в $%H$%, поскольку $%H$% нормальна в $%G$%. Далее, все они будут нормальны в $%H$%, так как $%K$% была нормальной в $%H$%. (Это следует из того, что сопряжение подгруппы $%g^{-1}Kg$% элементом $%x\in H$% равно сопряжению группы $%K$% элементом $%gxg^{-1}\cdot g$%, но элемент $%gxg^{-1}$% принадлежит $%H$%, и при сопряжении этим элементом $%K$% переходит в себя. Поэтому дополнительное сопряжение элементом $%g$% приводит к подгруппе $%g^{-1}Kg$%.) Индексы всех подгрупп вида $%a^{-1}Ka$% в $%H$% будут такими же, каков был индекс $%K$% в $%H$%, то есть это будут нормальные (в $%H$%) подгруппы конечного $%\pi$%-индекса в конечном числе. Согласно сказанному выше, их пересечение будет обладать тем же свойством. Его индекс в $%G$% также будет равен числу, не имеющему простых делителей за пределами множества $%\pi$%. Значит, элемент $%h$% будет принадлежать такой подгруппе, но тогда он принадлежит $%K$%, что и требовалось проверить. Таким образом, включение $%N_G\le N_H$% доказано.