Разложить функцию $%f(z)=1/(z-a)(z-b)$% в ряд Лорана по степеням Z в круге $%|z|<|a|$%, кольце $%|a|<|z|<|b|$% и в множестве $%|z|>b $%

$%f(z)=1/(z-1)(z-3)$%, $%a=1;b=3$%

задан 29 Май '14 23:21

изменен 30 Май '14 19:56

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%f(z)=\frac1{(z-1)(z-3)}=\frac12(\frac1{z-3}-\frac1{z-1})$%

Я разберу случай разложения в кольце $%1 < |z| < 3$%. Остальное решается при помощи аналогичных приёмов.

Рассмотрим разложения для отдельных слагаемых. Для первого из них (без учёта множителя $%\frac12$%) получается $%\frac1{z-3}=-\frac13\cdot\frac1{1-z/3}$%, и далее пользуемся формулой $%\frac1{1-w}=1+w+w^2+\cdots+w^n+\cdots$% при $%w=\frac{z}3$%. Она применима, так как $%|z| < 3$%, и потому $%|w| < 1$%. Получается степенной ряд от переменной $%z$%.

Второе слагаемое, без учёта минуса, запишем как $%\frac1{z-1}=\frac{z^{-1}}{1-z^{-1}}$%, что в силу той же формулы приводит к разложению $%z^{-1}(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots$%), где показатели степеней отрицательны. Формула применима ввиду $%|z^{-1}| < 1$%.

Далее надо сложить эти два ряда с учётом коэффициентов.

ссылка

отвечен 29 Май '14 23:43

@falcao большое спасибо)а что делать, если нужно разложить функцию в окрестности точки?и когда функция имеет вид cos(z/(z+2)) и точка z0=-2?

(30 Май '14 0:14) Jeg92

@Jeg92: уточните, пожалуйста, что Вас интересует. Какого типа функцию надо разложить в окрестности точки, и какой имеется в виду ряд (степенной, ряд Лорана, что-то ещё)?

(30 Май '14 0:22) falcao

@falcao ряд Лорана, функция вида z*cos(z/(z+2)), точка z=-2

(30 Май '14 0:31) Jeg92

@Jeg92: так это отдельный вопрос, который Вы сегодня задали. Он требует отдельного ответа. Там надо косинус в степенной ряд раскладывать, но при этом нужно сделать несколько вспомогательных преобразований.

(30 Май '14 0:36) falcao

@falcao я разложил косинус на cos1cos(2/(z+2))-sin1sin(2/(z+2)), и далее, как написано тут http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tfkp/theme7/theory.asp расписал..получилось что-то вроде второго примера тут..http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tfkp/theme7/example.asp#ex1 но как привести к универсальному виду?и непонятно также, что делать с точкой z=-2

(30 Май '14 0:43) Jeg92

@Jeg92: сам по себе подход верный, но там надо кое-какие детали ещё проговорить. Я отвечу попозже в том вопросе, где Вы об этом отдельно спрашивали. В комментариях это не очень удобно писать, так как формулы не видны.

(30 Май '14 0:59) falcao

@falcao OK.жду.thanx)

(30 Май '14 1:16) Jeg92
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×404
×392
×312
×127
×31

задан
29 Май '14 23:21

показан
4205 раз

обновлен
30 Май '14 1:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru