Найти все целочисленные решения уравнения:

$$3{x^2} - {y^2} + 4{z^2} = 2014$$

задан 31 Май '14 5:50

10|600 символов нужно символов осталось
2

Легко видеть, что $%x$% и $%y$% оба нечётны (если чётно одно, то чётно и другое, но тогда правая часть делится на 4). Также ясно, что $%z$% не делится на 3, так как $%y^2+1$% не кратно трём. Значит, можно ограничиться описанием решений в натуральных числах.

Запишем уравнение в виде $%(2z-y)(2z+y)=2014-x^2$%, где $%x$% -- произвольное нечётное число. Правая часть при делении на 4 даёт в остатке 3, поэтому при любом разложении на целочисленные множители, один из них даёт в остатке 1, а другой 3. Поэтому их сумма кратна 4. Если мы рассмотрим любое из разложений вида $%d_1d_2$% для числа $%2014-3x^2$%, то это даст целочисленное решение по формулам $%y=\frac{d_2-d_1}2$%, $%z=\frac{d_2+d_1}4$%. Это описывает все решения: их бесконечно много, но для каждого нечётного $%x$% их число конечно.

Например, если $%x=1$%, то получается простое число $%2014-x^2=2013$%. Разложение на множители здесь всего одно (если мы ищем решения в натуральных числах), и оно даёт $%y=1005$%, $%z=503$%. При $%x=5$% имеем $%2014-3x^2=1939=7\cdot277$%, и здесь имеется два разложения в произведение меньшего и большего числа. Это даёт решения $%(5;969;485)$% и $%(5;135;71)$%. А при $%x=9$% получится уравнение $%(2z-y)(2z+y)=7\cdot11\cdot23$%, которое даёт уже четыре решения в натуральных числах, и так далее.

При нечётных $%x\ge27$% удобнее рассматривать уравнение $%(y-2z)(y+2z)=3x^2-2014$%, также представляя правую часть в виде произведения меньшего и большего числа, откуда однозначно находятся натуральные $%y$% и $%z$%. Это даёт описание всех решений.

Здесь также можно попытаться дать нечто вроде параметрического описания -- подобного тому, какое имеется для пифагоровых троек. Для описания всех решений в рациональных чисел это делается стандартным методом, но выражения получаются достаточно громоздкими.

ссылка

отвечен 31 Май '14 13:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

$% 4x^2+4z^2=2014+x^2+y^2$%, $%x,y$% должны быть нечетными (из делимости на 4)

ссылка

отвечен 31 Май '14 11:21

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я не понимаю как набирать формулы тут. Может кто подсказать?

Дам ссылку на другой форум где решение этого уравнения записано в общем виде

ссылка

отвечен 17 Сен '14 17:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,087
×802
×155
×139

задан
31 Май '14 5:50

показан
1801 раз

обновлен
17 Сен '14 17:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru