1. y'x+y=-xy^2
  2. y'+y=xy^3
  3. xy^2'=y^2+xy
  4. y'+xy=xy^3

задан 31 Май '14 13:51

изменен 3 Июн '14 14:42

Deleted's gravatar image


126

Для первых двух уравнений см. метод решения здесь, а уравнение из пункта 3 не является дифференциальным.

(31 Май '14 14:01) falcao

Можете расписать все подробно?

(31 Май '14 14:04) СтепаКазарян

А Вы сами пробовали делать то, что там описано? Имело бы смысл это сделать, а если что-то не будет получаться, то спросить совета или подсказки.

(31 Май '14 14:11) falcao

Извините, буду с вами откровенен, но я совершено не понимаю эту тему и способ замены переменной. А сдать это надо в понедельник. Просто попросил у людей помощи, может кто откликнется и поможет мне)

(31 Май '14 14:14) СтепаКазарян

@СтепаКазарян: я помогаю только тем, кто хочет разобраться в математике. Если Вы готовы начать решать и понять то, что Вам не ясно (включая способы замены переменной), я могу помочь. До понедельника ещё уйма времени.

(31 Май '14 17:30) falcao

Хорошо, я не против разобраться в этой теме. Просто мне нужен всего один пример, чтобы понять как решать. А что написано в википедии слишком заумно и я не могу понять.

(31 Май '14 20:50) СтепаКазарян

@СтепаКазарян: там не надо брать всё, что написано -- только самое основное. Дальше надо просто начать делать то, что сказано, и тогда в процессе всё должно становиться ясно. Не надо стремиться понять всё сразу и целиком. Давайте я покажу на примере первого уравнения, как всё это делается, следуя тем указаниям, которые имеются по ссылке. А Вы увидите, что там ничего сложного нет. Если, конечно, уметь решать уравнения более простого типа, к которым всё сводится.

(31 Май '14 21:07) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%y'x+y=-xy^2$%

Сначала делим уравнение на $%x$%, чтобы привести его к виду $%y'+a(x)y=b(x)y^2$%, где $%a(x)$% и $%b(x)$% -- некоторые функции. Получается $%y'+y/x=-y^2$%. Здесь $%a(x)=1/x$% и $%b(x)=-1$%. Число $%n$% (показатель степени при $%y$% в правой части) равно двум. В соответствии с указаниями, делим обе части уравнения на $%y^2$%. Получается $%\frac{y'}{y^2}+\frac1{xy}=-1$%.

Теперь применяем замену вида $%z=y^{-n+1}$%. В нашем случае это $%z=y^{-1}=1/y$%. Значит, $%y=1/z$%. Находим $%y'$% по правилу производной сложной функции: $%y'=(1/z)'=-z'/z^2$%. Подставляем всё в уравнение: $%-z'+z/x=-1$%, меняем знак, получаем линейное (неоднородное) уравнение: $%z'-z/x=1$%.

Решаем сначала однородное уравнение $%z'-z/x=0$%, то есть $%\frac{dz}z=\frac{dx}x$%. Это уравнение с разделяющимися переменными. После интегрирования получается $%z=Cx$%. Теперь ищем решение неоднородного уравнения в виде $%z=C(x)x$% (это метод вариации постоянной). Получается $%C'(x)x+C(x)-C(x)=1$%, то есть $%C'(x)=\frac1x$%. Это уравнение решается обычным интегрированием, что даёт $%C(x)=\ln|x|+C$%, где $%C$% -- "обычная" константа. Отсюда $%z(x)=x(\ln|x|+C)$%, то есть $%y=\frac1{x(\ln|x|+C)}$%.

ссылка

отвечен 31 Май '14 21:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнение Бернулли можно решать и без предварительного приведения к линейному... если просто использовать метод вариации как у линейного уравнения, то писанины будет поменьше...

Например, $%x\cdot y′ +y=−x\cdot y^2$%...
Рассматриваем однородное линейное уравнение $%x\cdot y′ +y=0$%, откуда $%y_0=\frac{C}{x}$%...
Затем ищем решение в виде $%y=\frac{u(x)}{x}$%, подставляя в уравнение, получим $%x\cdot \left(\frac{u'}{x}\right)=−x\cdot \left(\frac{u}{x}\right)^2$% ... ну, а дальше уже понятно...

ссылка

отвечен 1 Июн '14 21:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,938
×931
×12

задан
31 Май '14 13:51

показан
1461 раз

обновлен
1 Июн '14 21:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru