теория-чисел - НОК и НОД чисел

1) Пусть $%(a,b)=d$%. Тогда $%d$% делит $%667=676-9=26^2-3^2=23\cdot29$%. Известно, что $%ab=[a,b]\cdot(a,b)$%, откуда $%ab=120d^2$%. Полагая $%a=dx$%, $%b=dy$%, имеем $%xy=120$%, где $%(x,y)=1$%, а также $%x+y=\frac{23\cdot29}d$%. Осталось понять, какие значения при этом может принимать $%d$%.

Ясно, что $%d\ne667$%, так как $%x+y > 1$%. Далее $%d\ne1$%, так как при $%x+y=667$% одно из слагаемых не меньше 334, что больше 120. Поэтому случаев получается два.

Если $%d=23$%, то $%x+y=29$%, $%xy=120$%. Это корни квадратного уравнения, и с учётом теоремы Виета нам подходят 24 и 5. Тем самым, $%\{a,b\}=\{552,115\}$%.

Если $%d=29$%, то $%x+y=23$%, $%xy=120$%. Из тех же соображений подходят 15 и 8. Здесь $%\{a,b\}=\{435,232\}$%. Задача имеет два решения.

2) Здесь в тех же обозначениях $%a+b=18d$%, то есть $%x+y=18$%. При этом $%ab=975d$%, то есть $%dxy=975=3\cdot5^2\cdot13$%. Осталось перебрать все случаи, когда число 18 является суммой двух взаимно простых слагаемых, произведение которых делит 975. Случай 1+17 не годится, 5+13 подходит, 7+11 также отпадает. Значит, $%x$% и $%y$% равны 5 и 13, число $%d$% равно $%\frac{975}{5\cdot13}=15$%, то есть $%\{a,b\}=\{75,195\}$%. Здесь решение всего одно.