алгебра - Найти все пары чисел (x, y) (мехмат)

$%\sqrt{\frac12(x-y)^2-(x-y)^4}=y^2-2x^2$%

$%y\ge4x^4+4yx^2+\frac12$%

Подкоренное выражение равно $%\frac1{16}-(\frac14-(x-y)^2)^2$%. Отсюда следует, что $%y^2-2x^2\in[0;\frac14]$%.

Во втором неравенстве $%y\ge(2x^2+y)^2-y^2+\frac12$%, то есть $%y^2+y-\frac12\ge(2x^2+y)^2\ge0$%.

Используя то, что $%y^2-\frac14\le2x^2\le y^2$%, получаем $%y^2+y-\frac14\le2x^2+y\le y^2+y$%, где все числа неотрицательны, поэтому применимо возведение в квадрат. С учётом предыдущего, получится $%(y^2+y-\frac14)^2\le(2x^2+y)^2\le y^2+y-\frac12$%. Это значит, что $%t^2\le t-\frac14$% при замене $%t=y^2+y-\frac14$%. Тем самым, $%(t-\frac12)^2\le0$%, и $%t=\frac12$%. Из этого следует, что $%y^2+y=\frac34$%, а в двойном неравенстве имеют место равенства. Справа и слева там находится число $%\frac14$%, откуда $%2x^2+y=\frac12$% (помним, что числа до возведения в квадрат были неотрицательные).

Остаётся подвести итоги. Во-первых, $%(y+\frac12)^2=1$%, то есть $%y=\frac12$% или $%y=-\frac32$%. В первом случае $%x=0$%, и пара $%(x;y)=(0;\frac12)$% подходит при проверке. Во втором случае $%x^2=1$%, и неравенство системы превращается в равенство. Анализ подкоренного выражения показывает, что $%(x-y)^2\le\frac12$%, поэтому подходит только пара $%(x;y)=(-1;-\frac32)$%. Она даёт второе решение системы (в первом уравнении при подстановке обе части равны $%\frac14$%).