2
1

Найти все действительные значения а, для каждого из которых существуют четыре целых числа x,y,u,v, удовлетворяющие равенствам:

x^2+y^2=(111-a)(a-89);

50(u^2-v^2)=a(15u+5v-a);

Я нашла a=100, но не могу составить чёткого обоснования решения. Остаётся вопрос, единственно ли это a, есть ли другие (что вряд ли, как мне кажется)?

задан 1 Июн '14 15:55

изменен 1 Июн '14 15:56

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим сначала случай, когда $%a$% целое. Из первого условия $%a\in[89;111]$%; из второго $%a$% кратно пяти. Поэтому проверке подлежат только числа 90, 95, 100, 105, 110. При $%a=100$% решение существует -- например, $%x=11$%, $%y=0$%, $%u=15$%, $%v=-5$%. При $%a\in\{90;110\}$% получается $%x^2+y^2=21$%, а при $%a\in\{95;105\}$% возникает уравнение $%x^2+y^2=96$%. Ни одно из чисел 21, 96 не представимо в виде суммы двух квадратов, что проверяется простым перебором. (На этот счёт есть теоретико-числовой критерий представимости, но он сложно доказывается, поэтому его применять не надо.) Можно было бы использовать тот факт, что сумма квадратов кратна трём тогда и только тогда, когда оба числа кратны трём.

Итак, случай целого $%a$% разобран. Покажем, что других значений $%a$% принимать не может. Прежде всего, исключая $%a^2$% из уравнений, имеем $%(15u+5v-22)a\in{\mathbb Z}$%, откуда следует, что $%a$% рационально: коэффициент при $%a$% не равен нулю. При этом $%a$% является корнем квадратного уравнения вида $%a^2+pa+q=0$% с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Легко проверить (для алгебраических уравнений любой степени), что такие корни могут быть только целыми. Действительно, если $%a=m/n$% представлено несократимой дробью ($%m\in{\mathbb Z}$%, $%n\in{\mathbb N}$%), то $%m^2+pmn+qn^2=0$%, откуда $%m^2$% кратно $%n$%. Если $%n\ne1$%, то $%n$% делится на простое число, и на него же делится $%m$%, то есть дробь сократима.

ссылка

отвечен 1 Июн '14 19:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,705
×458
×281
×133

задан
1 Июн '14 15:55

показан
609 раз

обновлен
1 Июн '14 19:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru