Есть ли формула для вычисления произведение всех делителей натурального числа?

задан 1 Июн '14 16:28

изменен 1 Июн '14 17:51

У Вас здесь был другой вопрос, о произведении всех делителей заданного числа. Я только что на него ответил. Предлагаю вернуть формулировку, чтобы не возникло недоразумения. Вопрос про формулу Эйлера можно задать отдельно. Вообще, нежелательно один вопрос размещать на месте другого.

(1 Июн '14 17:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Формулу, конечно, можно получить -- другое дело, насколько она окажется полезной.

Если $%N$% -- натуральное число, то произведение всех его натуральных делителей равно $%N^{d(N)/2}$%, где $%d(N)$% -- количество натуральных делителей для $%N$%. При $%N=1$% это верно. Далее применяем индукцию.

Пусть $%N > 1$%. Положим $%N=p^kM$%, где $%p$% простое, $%p$% делит $%N$% и не делит $%M$%, и $%k\ge1$%. Выпишем все делители $%d_1$%, ... , $%d_m$% числа $%M$%, где $%m=d(M)$%. По предположению индукции, $%d_1\ldots d_m=M^{m/2}$%. Делители числа $%N$% будут иметь вид $%p^sd_i$%, где $%0\le s\le k$%. При фиксированном $%s$% их произведение по $%i$% от $%1$% до $%m$% равно $%p^{sm}M^{m/2}$%. Теперь перемножаем по всем $%s$%, получая $$p^{m(1+2+\cdots+k)}M^{m(k+1)/2}=(p^kM)^{m(k+1)/2}=N^{d(N)/2},$$ поскольку $%d(N)=(k+1)d(M)$%.

ссылка

отвечен 1 Июн '14 17:33

Извиняюсь я потом уже сам понял. Поможете еще с одной задачкой пожалуйста. Функция Эйлера, φ(a)=11424, a=p²q², p,q ∈ P, p≠q, a=?

(1 Июн '14 17:59) Александр_777

@Александр_777: это несложная задача, и можно здесь ответить. По формуле, $%\phi(a)=p(p-1)q(q-1)$%. При этом $%11424=2^5\cdot3\cdot7\cdot17$%. Очевидно, что максимальное из чисел $%p$% и $%q$% равно 17. Тогда отделяется $%17\cdot2^4$% и остаётся $%6\cdot7$%. Из тех же соображений, второе простое число равно 7. Значит, $%a=7^2\cdot17^2$%.

(1 Июн '14 18:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть разложение числа $%A$% на простые делители - $%p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}...p_n^{r_n},$% тогда число всех делителей будет $%k=(r_1+1)(r_2+1)(r_3+1)...(r_n+1).$% Пусть $%a_1,a_2,a_3,...,a_k $% все делители числа $%A$% по порядку возрастания.

$%P^2=a_1^2a_2^2a_3^2\cdot...\cdot a_k^2=(a_1a_k)(a_2a_{k-1})(a_3a_{k-3})\cdot...\cdot(a_ka_1)=A^k \Rightarrow P=\sqrt{A^k}.$%

ссылка

отвечен 1 Июн '14 17:47

Спасибо, интересная идея.

(1 Июн '14 17:57) Александр_777
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×917

задан
1 Июн '14 16:28

показан
7897 раз

обновлен
1 Июн '14 18:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru