y=e^sin x

задан 3 Июн '14 18:25

Нужно разложить до какого-то определённого члена, или в общем виде? Там закономерность у коэффициентов какая-то не слишком хорошая. Скажем, начальные члены ряда оказываются такие: $%1+x+(1/2)x^2-(1/8)x^4-(1/15)x^5-(1/240)x^6+(1/90)x^7$% $%+(31/5760)x^8+(1/5670)x^9-(2951/3628800)x^{10}+\cdots$%.

(3 Июн '14 18:37) falcao

В общем виде скорее всего

(3 Июн '14 18:46) Nero507

Боюсь, что в общем виде там получатся слишком сложные выражения. Фактически, там ряд (для синуса) подставляется в ряд (для экспоненты). В итоге получается нечто достаточно сложное. Я сомневаюсь, что это могло быть элементом "типового" задания. Скажем, более простая по виду функция, хотя и родственного типа -- двойная экспонента $%e^{e^x}$% приводит к т.н. числам Белла, а это достаточно сложная вещь, для которой явные формулы "хорошего" вида вообще не выписываются. Надо уточнить задание -- если там разложение до какого-то члена типа пятого, то это легко.

(3 Июн '14 19:05) falcao

Просмотрел, если как в конспекте делать, то до пятого будет достаточно.

(3 Июн '14 19:32) Nero507

У меня выписано всё вплоть до 10-го члена, то есть этим уже можно воспользоваться. Экспоненту надо тогда раскладывать до 5-го члена, а в разложении синуса учитывать только те члены, которые имеют "малую" степень. В таком виде всё решается без особых проблем.

(3 Июн '14 19:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%e^{\sin x}=1+\sin x+\frac12\sin^2x+\frac16\sin^3x+\frac1{24}\sin^4x+\frac1{120}\sin^5x+o(x^5)$%, где $%\sin x=x-\frac16x^3-\frac1{20}x^5+o(x^5)$%. При возведении в степень получаются такие выражения: $%\sin^5x=x^5+o(x^5)$%; $%\sin^4x=x^4(1+o(x))^4=x^4+o(x^5)$%; $%\sin^3x=x^3(1-\frac16x^2+o(x^2))^3=x^3-\frac12x^5+o(x^5)$%; $%\sin^2x=x^2(1-\frac16x^2+o(x^3))^2=x^2-\frac13x^4+o(x^5)$%.

Собирая всё вместе с учётом коэффициентов и упрощая, получаем $%e^{\sin x}=1+x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5+\frac12x^2-\frac16x^4+\frac16x^3-\frac1{12}x^5+\frac1{24}x^4+\frac1{120}x^5+o(x^5)$%, то есть разложение до 5-го члена выглядит так: $%e^{\sin x}=1+x+\frac12x^2-\frac18x^4-\frac1{15}x^5+o(x^5)$%.

ссылка

отвечен 3 Июн '14 19:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×63

задан
3 Июн '14 18:25

показан
1769 раз

обновлен
3 Июн '14 19:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru