Произвольный элемент группы G=(A*B;H) сопряжен с некоторым циклически несократимым элементом. Заранее благодарен.

задан 3 Июн '14 21:06

10|600 символов нужно символов осталось
1

Мне казалось, что этот вопрос уже задавали, но я посмотрел по ссылкам -- там был аналогичный вопрос о свободном произведении двух групп. Доказательство для свободного произведения с объединённой подгруппой основано на той же идее. Я сейчас просто возьму свой же текст отсюда и приспособлю его к данному случаю.

Если $%g=1$%, то ему соответствует пустая последовательность элементов, которая считается циклически приведённой. Для каждого элемента $%g\ne1$% рассмотрим наименьшее $%n$% такое, что $%g$% сопряжён произведению вида $%x_1x_2\ldots x_n$%, где каждый сомножитель принадлежит $%A$% или $%B$%. Ясно, соседние элементы не могут принадлежать одной и той же подгруппе $%A$% или $%B$%, так как их можно перемножить, уменьшая значение $%n$%. Аналогичное утверждение будет верно при $%n > 1$% и для элементов $%x_n$%, $%x_1$%: если они принадлежат одной и той же из двух подгрупп, то переходим к сопряжённому элементу посредством циклического сдвига и рассматриваем произведение $%(x_nx_1)x_2\ldots x_n$% с меньшим числом сомножителей. Из этих же соображений ясно, что при $%n > 1$% никакой из сомножителей не может принадлежать объединяемой подгруппе $%H$%, так как в этом случае соседние элементы окажутся в одном сомножителе (в силу того, что $%H$% содержится в каждом из них).

Таким образом, выбранный нами элемент оказывается циклически несократимым по определению (все циклические перестановки приведены).

ссылка

отвечен 4 Июн '14 1:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,172

задан
3 Июн '14 21:06

показан
392 раза

обновлен
4 Июн '14 1:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru