Найти минимум выражения $%x^2+2y^2$%, если $%x^2-xy+2y^2=1$%

задан 3 Июн '14 22:08

изменен 4 Июн '14 14:46

Deleted's gravatar image


126

math.hashcode.ru/questions/13698/ вот похожая задача, если интересно

(6 Июн '14 20:21) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%s=x^2+2y^2=(x-\sqrt2y)^2+2\sqrt2xy\ge2\sqrt2xy=2\sqrt2(s-1)$%. Отсюда $%s\le\frac{2\sqrt2}{2\sqrt2-1}=\frac{2\sqrt2+8}7$%. Равенство будет достигаться при $%x=\sqrt2y$%. Числа с таким свойством существуют: достаточно взять $%y^2=\frac1{4-\sqrt2}$%.

Добавление. Я рассмотрел решение не той задачи: нашёл максимум, а не минимум выражения. Рассуждение для минимума аналогично: $%f=x^2+2y^2=(x+\sqrt2y)^2-2\sqrt2xy\ge-2\sqrt2xy=2\sqrt2(1-f)$%. Отсюда $%f\ge\frac{2\sqrt2}{2\sqrt2+1}=\frac{8-2\sqrt2}7$%. Равенство будет достигаться при $%x=-\sqrt2y$%. Числа с таким свойством существуют: достаточно взять $%y^2=\frac1{4+\sqrt2}$%.

ссылка

отвечен 4 Июн '14 2:00

изменен 4 Июн '14 3:37

Вы ошиблись, таких чисел существует всего две пары и обе выражаются приближенно.

(4 Июн '14 2:43) night-raven

@void_pointer: здесь не требовалось находить все пары. Нужно найти минимум выражения. Для этого достаточно доказать неравенство, и далее доказать, что оно превращается в равенство в случае хотя бы одной из пар. Приближённые решения в таких случаях не засчитываются.

Ошибка, впрочем, у меня есть: она в том, что я решил не ту задачу и нашёл максимальное значение вместо минимального. Для минимума всё решается аналогичным способом -- сейчас я сделаю добавление. Все значения здесь выражаются через радикалы.

(4 Июн '14 3:32) falcao

Но выражение $%{F_{\min }}(x,y) = {x^2} + 2{y^2}$% с заданной областью $%{x^2} - xy + 2{y^2} = 1$% принимает наименьшее значение лишь в определенных точках. Таких точек 2 пары. В виду четности если $%({x_0},{y_0})$% одна из таких точек, то и $%({-x_0},{-y_0})$% тоже будет частью решения. Вы верно пришли к решению, но почему то не записали полное решение. Оно собственно: $%{F_{\min }}(x,y) = {x^2} + 2{y^2} = \frac{{8 - 2\sqrt 2 }}{7}$% при $%( - \sqrt {\frac{2}{{4 + \sqrt 2 }}} ,\sqrt {\frac{1}{{4 + \sqrt 2 }}} )$% и $%( \sqrt {\frac{2}{{4 + \sqrt 2 }}} ,- \sqrt {\frac{1}{{4 + \sqrt 2 }}} )$%.

(4 Июн '14 3:50) night-raven

@void_pointer: я сделал то, что требовалось в условии. Там было сказано "найти минимум выражения". Что и было сделано. Дополнительный анализ всех точек, в которых этот минимум достигается, производится из сказанного совсем легко, но я сознательно не стал эти точки выписывать, так как в условии это не требовалось.

(4 Июн '14 3:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

ссылка

отвечен 4 Июн '14 2:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

Я делал так

ссылка

отвечен 4 Июн '14 16:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,843
×63
×27
×14

задан
3 Июн '14 22:08

показан
2655 раз

обновлен
6 Июн '14 20:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru