Действительные числа r, s и t таковы, что r < s < t. Кроме того, известно, что после подстановки каждого из трех чисел r, s и t вместо y в равенство x^2-(9-y)x+y^2-9y+15=0 по меньшей мере одно из двух оставшихся чисел будет содержаться среди корней получившегося квадратного уравнения. Доказать, что -1 < r < 1.

задан 3 Июн '14 23:06

изменен 25 Июн '14 1:49

А куда делось условие задачи? В такой формулировке она делается бессмысленной.

(23 Июн '14 2:34) falcao

Я пыталась удалить вопрос. Просто поспорила с другом, что он её не решит... Позже верну всё на место.

(23 Июн '14 3:04) Мargaret

А зачем его удалять? Я старался, писал решение. Мне самому потом может захотеться его перечитать. Зачем уничтожать чей-то труд? Это примерно как вырывать страницы из книги.

Желательно восстановить условие в прежнем виде.

(23 Июн '14 3:11) falcao

На самом деле, даже в таком случае нет смысла удалять, потому что поисковые программы хранят все старые записи в "кэше". Если кто-то задастся целью найти решение задачи в Сети, то это легко сделать. То есть тут можно полагаться только на честность спора.

(23 Июн '14 3:38) falcao

Извините, пожалуйста, если чем-то помешала. Обещаю, что завтра же все верну на свои места. Я ценю ваш труд, и мне искренне жаль, если я вас чем-то огорчила.

(23 Июн '14 3:43) Мargaret
10|600 символов нужно символов осталось
4

Заметим, что функция $%f(x,y)=x^2-(9-y)x+y^2-9y+15=x^2+y^2+xy-9x-9y+15$% симметрична относительно замены $%x$% на $%y$%, то есть $%f(x,y)=f(y,x)$%. Пусть $%\{a,b,c\}=\{r,s,t\}$%. Из трёх равенств $%f(a,b)=0$%, $%f(a,c)=0$%, $%f(b,c)=0$% справедливы по крайней мере два. В противном случае, если справедливо только равенство $%f(a,b)=0$%, то для числа $%y=c$% ни одно из чисел $%a,b$% не будет корнем уравнения $%f(x,c)=0$%.

Далее можно считать, что $%f(b,a)=f(c,a)=0$%. Это значит, что квадратное уравнение $%f(x,a)=0$% имеет два различных корня, и его дискриминант $%D=(9-a)^2-4(a^2-9a+15)$% положителен. Тем самым, $%D=21+18a-3a^2 > 0$%, то есть $%(a+1)(a-7) < 0$%, и $%a\in(-1;7)$%. С учётом теоремы Виета, $%b+c=9-a$%, то есть $%a+b+c=9$%.

Сначала проверим, что $%r > -1$%. Прежде всего, уравнение $%f(x,r)=0$% имеет хотя бы один корень, поэтому дискриминант будет неотрицателен, откуда следует, что $%r\in[-1;7]$%. Допустим, что $%r=-1$%. При этом дискриминант равен нулю, и тогда $%x=5$%. С учётом того, что сумма трёх наших чисел равна $%9$%, оказывается, что третье число также равно $%5$%, то есть два числа совпадают. Тем самым, $%r > -1$%.

Теперь надо показать, что $%r < 1$%. Ясно, что $%r$% -- это наименьшее из двух чисел $%a$%, $%b$%, где $%b$% -- меньший корень квадратного уравнения, равный $%\frac{9-a-\sqrt{21+18a-3a^2}}2$%. Если $%a < 1$%, то доказывать нечего. При $%a=1$% получается $%b=1$%, что невозможно. Остаётся проверить, что при $%a\in(1;7)$% справедливо неравенство $%b < 1$%, равносильное $%7-a < \sqrt{21+18a-3a^2}$%. Обе части неравенства положительны, поэтому можно применить возведение в квадрат. Получится $%a^2-14a+49 < 21+18a-3a^2$%, то есть $%a^2-8a+7 < 0$%, что очевидным образом верно при $%a\in(1;7)$%.

ссылка

отвечен 4 Июн '14 15:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

@falcao, а если так?

Докажем, что уравнение $%f(x, r)=0$% имеет своими корнями числа $%s$% и $%t$%. Допустим, например, что корнями уравнения $%f(x, r)=0$% являются числа $%s$% и $%u\ne t$%. Тогда $%f(s, r)=0$%, а потому $%f(r, s)=0$%; далее $%f(s, t)=0$% ибо $%f(r, t)=f(t, r)\ne0$%, а потому $%f(t, s)=0$%. Следовательно, уравнение $%f(x, s)=0$% имеет корни $%r$% и $%t$%. Сравнивая равенства $%s+u=9-r$%, $%r+t=9-s$%, получающиеся по теореме Виета для уравнений $%f(x, r)=0$% и $%f(x, s)=0$%, приходим к противоречию с предположением $%u\ne t$%.

Поскольку уравнение $%f(x, r)=0$% имеет корни $%s$% и $%t$%, $%s\ne t$%, то его дискриминант положителен; а так как $%r<s<t$%, то значение трехчлена $%f(x, r)$% в точке $%r$% положительно; так как $%r<s$%, то число $%r$% лежит левее абсциссы вершины параболы $%f(x, r)$%, то есть левее числа $%0,5(s+t)$%, которое по теореме Виета равно $%0,5(9-r)$%. Получаем систему неравенств $$\left\{\begin{aligned} & (9-r)^2-4(r^2-9r+15)>0,\\ & 3r^2-18r+15>0,\\ & r<0,5(9-r), \end{aligned}\right.$$ откуда $%r\in(-1; 1)$%.

ссылка

отвечен 22 Авг 22:04

изменен 22 Авг 22:05

@cs_puma: я решал эту задачу очень давно, подробности уже забыл. Поэтому мне сейчас трудно оценить, какой путь проще.

(22 Авг 23:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,013
×683
×227

задан
3 Июн '14 23:06

показан
919 раз

обновлен
22 Авг 23:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru