|
Найти все значения а, при которых область определения функции y=1/(3cos x-2(cosx)^3-2a) cовпадает с областью определения y=(1/((sin x)^3+(cos x)^3-a)-(sqrt(2))/(3cos x - 2(cos x)^3-2a)). задан 3 Июн '14 23:25 
Мargaret |
|
Найдём те $%a$%, для которых области определения функций не совпадают. Последнее происходит, когда найдётся $%x$%, при котором $%\sin^3x+\cos^3x=a$% и $%3\cos x-2\cos^3x\ne2a$%. Функция $%h(x)=\sin^3x+\cos^3x$% принимает все значения из отрезка $%[-1;1]$%. Это следует, во-первых, из неравенств $%-\sin^2x\le\sin^3x\le\sin^2x$% и $%-\cos^2x\le\cos^3x\le\cos^2x$%, которые при сложении дают $%-1\le h(x)\le1$%; во-вторых, из условий $%h(\frac{\pi}2)=1$% и $%h(-\frac{\pi}2)=-1$%; в-третьих, из непрерывности функции, в силу чего она принимает все промежуточные значения. Допустим, что равенство $%h(x)=a$% имеет место. Тогда неравенство равносильно тому, что $%3\cos x-2\cos^3x\ne2\sin^3x+2\cos^3x$%, то есть $%3\cos x-4\cos^3x-2\sin^3x\ne0$%. Установим, для каких $%x$% также неравенство может не выполняться. Для этого рассмотрим уравнение, которое превратим в однородное, домножая первое слагаемое на сумму квадратов синуса и косинуса. Получится $%3\sin^2x\cos x-\cos^3x-2\sin^3x=0$%. Ясно, что при этом $%\cos x\ne0$%, что позволяет разделить на $%\cos^3x$% и получить равенство $%2t^3-3t^2+1=0$%, где $%t=\mathop{\rm tg\,}x$%. Кубический многочлен имеет корнем $%t=1$%, поэтому его можно разложить на множители как $%(t-1)(2t^2-t-1)=(t-1)^2(2t+1)$%. Корней у него два: $%t=1$% и $%t=-\frac12$%. Из условия $%t=1$% следует, что $%\sin x=\cos x=\pm\frac1{\sqrt2}$%. При этом $%h(x)=\pm\frac1{\sqrt2}$%. Проверим, что при $%a=\pm\frac1{\sqrt2}$% уравнение $%h(x)=a$% имеет и такие решения, для которых $%t\ne1$%. Это можно усмотреть из следующих соображений: $%h(\frac{\pi}2)=1$% и $%h(\pi)=-1$%. Поэтому уравнение $%h(x)=\pm\frac1{\sqrt2}$% имеет решение на интервале $%x\in(\frac{\pi}2;\pi)$%, где тангенс отрицателен. Рассмотрим теперь случай $%t=-\frac12$%. Здесь $%\sin x=\frac1{\sqrt5}$%, $%\cos x=-\frac2{\sqrt5}$%, либо то же самое с противоположными знаками, откуда $%h(x)=\pm\frac7{5\sqrt5}$%. Здесь можно заметить, что при замене $%x$% на $%\frac{\pi}2-x$% синус и косинус меняются ролями, то есть $%h(x)$% остаётся прежним, а тангенс становится равен $%-2$%. Значит, и в этом случае найдётся $%x$%, для которого $%h(x)=a$%, и при этом выполняется неравенство. Таким образом, при $%a\in[-1;1]$% области определения двух функций из условия различаются, а при $%a\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$% они совпадают. отвечен 4 Июн '14 16:19 
falcao |
|
Найти все значения а, при которых область определения функции $%y = \frac{1}{{3\cos (x) - 2{{\cos }^3}(x) - 2a}}$% совпадает с областью определения $%g = \frac{1}{{{{\sin }^3}(x) + {{\cos }^3}(x) - a}} - \frac{{\sqrt 2 }}{{3\cos (x) - 2{{\cos }^3}(x) - 2a}}$%. Функция y и g имеют разрывы в области определения когда знаменатель равен нулю. Рассмотрим данную ситуацию: $%{\sin ^3}(x) + {\cos ^3}(x) - a = 0$% или $%{3\cos (x) - 2{{\cos }^3}(x) - 2a} = 0$% Рассмотрим обе функции относительно параметра: $%a(x) = 1.5\cos (x) - {\cos ^3}(x)$% и $%a(x) = {\sin ^3}(x) + {\cos ^3}(x)$% Рассмотрим графики функций:
При $%a \in [ - 1;1]$% найдется $%x$% при котором знаменатель одной из функций превратится в нуль. Значит функция не будет определенна в этой точке. Если бы обе функции лежали одна в другой то тогда их точки разрыва совпадали бы и он имели бы одинаковую область определения. Из графика видно что функции имеют общие точки разрыва при заданном значении параметра, но в то же время найдутся значения $%x$% при котором одна из функций будет иметь разрыв и в другом месте. На основании этого можно сделать вывод что ни при каких $%a \in [ - 1;1]$% области определения функций не совпадут. Тогда $%a < - 1 \cup a > 1$%. При таких значениях параметра знаменатель никогда не будет нулем, а значит не будет и разрывов и поэтому обе функции будут определенны при любом $%x \in R$% отвечен 4 Июн '14 4:58 
night-raven |
@Мargaret, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.