В квадрат со стороной a вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник. Внутрь квадрата бросается 5 точек. Найти вероятность того, что три точки попадут внутрь круга, причем две из них внутрь треугольника, а две остальные вообще не попадут в круг.

задан 4 Июн '14 19:33

изменен 5 Июн '14 10:15

Deleted's gravatar image


126

@Wapkululul, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(5 Июн '14 10:15) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
1

Квадрат имеет площадь $%a^2$%, вписанная в него окружность -- площадь $%\frac{\pi a^2}4$%, а вписанный в неё правильный треугольник имеет сторону $%r\sqrt3$%, где $%r=\frac{a}2$%, поэтому его площадь равна $%\frac{\sqrt3}4(r\sqrt3)^2=\frac{3\sqrt3}{16}a^2$%.

Две точки из пяти, которые не попадут в круг, можно задать $%C_5^2=10$% способами. Геометрическая вероятность попадания в круг равна $%\frac{\pi}4$%. Соответственно, для непопадания она равна $%1-\frac{\pi}4$%, и эту вероятность мы возводим в квадрат, поскольку таких точек две. Из трёх оставшихся точек тремя способами задаём ту, которая попадёт в круг, но не в треугольник. Вероятность такого попадания равна разности площадей круга и треугольника, поделённой на площадь квадрата, то есть $%\frac{\pi}4-\frac{3\sqrt3}{16}$%. Вероятность попадания точки в треугольник равна $%\frac{3\sqrt3}{16}$%, а для двух независимо брошенных точек получается квадрат этой величины, то есть $%\frac{27}{256}$%.

Итоговая вероятность равна произведению $$10\cdot3\cdot\left(1-\frac{\pi}4\right)^2\left(\frac{\pi}4-\frac{3\sqrt3}{16}\right)\cdot\frac{27}{256}\approx0,067.$$

ссылка

отвечен 4 Июн '14 20:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,208

задан
4 Июн '14 19:33

показан
3428 раз

обновлен
5 Июн '14 10:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru