|
При каких значениях параметра a уравнение $$(log_{7}(x+5)-log_{7}(x-5))^{2}-5(log_{7}(x+5)-log_{7}(x-5))-9a^{2}-9a+4=0 $$ имеет ровно два решения. $$$$ Задачу решила, но не уверена в ответе. Я решала заменой на t > 0 (пишу по памяти, но вроде все верно) Если уравнение имеет два корня относительно t и корни положительны, то и относительно x корня 2.. задан 5 Июн '14 16:43 
Doctrina |
|
Рассмотрим функцию $%f(x) = \frac{{x + 5}}{{x - 5}}$% на промежутке $%x > 5$%. $%f'(x) = \frac{{ - 10}}{{{{(x - 5)}^2}}} < 0;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \frac{{1 + \frac{5}{x}}}{{1 - \frac{5}{x}}} = 1$% На основании этого можно сделать вывод что функция $%f(x)$% убывает и стремится к $%1$% при $%x > 5$%. Отсюда $%E(f(x)) = (1; + \infty )$%, тогда $%E({\log _7}f(x)) = (0; + \infty )$% . На всей области определения функция монотонно убывает. Сделаем замену $%{\log _7}(x + 5) - {\log _7}(x - 5) = t \in (0;\infty )$%. Новое условие задачи звучит так: При каких значениях параметра $%a$% уравнение $%{t^2} - 5t - 9{a^2} - 9a + 4 = 0$% имеет ровно два положительных корня. $%\begin{cases}D>0\\{t_1} \cdot {t_2} > 0\\{t_0} > 0\end{cases}=>\begin{cases}25 - 4 \cdot (4 - 9{a^2} - 9a) > 0\\4 - 9{a^2} - 9a > 0\\\frac{5}{2} > 0\end{cases}=> a \in ( - \frac{4}{3}; - \frac{1}{2}) \cup ( - \frac{1}{2};\frac{1}{3})$% отвечен 5 Июн '14 18:00 
night-raven |
|
А как решить это же самое задание только с таким уравнением $$(log_{8}(x+a)-log_{8}(x-a))^{2}-12a(log_{8}(x+a)-log_{8}(x-a))+35a^{2}-6a-9=0$$ Нужно отдельно рассматривать, когда a положительно и когда отрицательно ? отвечен 8 Июн '14 0:01 
Пильсбери @Пильсбери: проверьте, пожалуйста, условие. Тут по многим признакам похоже, что вместо $%-35a^2$% должно быть $%+35a^2$%.
(8 Июн '14 0:17)
falcao
Да, точно ) Исправил .
(8 Июн '14 0:35)
Пильсбери
В исправленном варианте квадратное уравнение (после замены) имеет корни $%7a+3$% и $%5a-3$%. Через эти значения однозначно выражается $%x$%. Далее надо проверить, при каких значениях параметра найденные корни удовлетворяют условию $%x > |a|$%.
(8 Июн '14 9:37)
falcao
|
Да, это верно, судя по всему. При $%x > 5$% функция $%t=\log_7\frac{x+5}{x-5}$% монотонно убывает и принимает по разу все положительные значения. Поэтому вопрос сводится к тому, когда корни относительно $%t$% различны и положительны. Сами корни равны $%3a+4$% и $%1-3a$%, совпадают они при $%a=-1/2$%. Поэтому $%a\in(-4/3;-1/2)\cup(-1/2;1/3)$%. Наверное, у Вас так же получилось.
Как же здорово, именно такой ответ и получился! Спасибо большое!