При каких значениях параметра a уравнение $$(log_{7}(x+5)-log_{7}(x-5))^{2}-5(log_{7}(x+5)-log_{7}(x-5))-9a^{2}-9a+4=0 $$ имеет ровно два решения. $$$$ Задачу решила, но не уверена в ответе. Я решала заменой на t > 0 (пишу по памяти, но вроде все верно) Если уравнение имеет два корня относительно t и корни положительны, то и относительно x корня 2..

задан 5 Июн '14 16:43

изменен 5 Июн '14 16:45

1

Да, это верно, судя по всему. При $%x > 5$% функция $%t=\log_7\frac{x+5}{x-5}$% монотонно убывает и принимает по разу все положительные значения. Поэтому вопрос сводится к тому, когда корни относительно $%t$% различны и положительны. Сами корни равны $%3a+4$% и $%1-3a$%, совпадают они при $%a=-1/2$%. Поэтому $%a\in(-4/3;-1/2)\cup(-1/2;1/3)$%. Наверное, у Вас так же получилось.

(5 Июн '14 17:24) falcao

Как же здорово, именно такой ответ и получился! Спасибо большое!

(5 Июн '14 17:28) Doctrina
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим функцию $%f(x) = \frac{{x + 5}}{{x - 5}}$% на промежутке $%x > 5$%. $%f'(x) = \frac{{ - 10}}{{{{(x - 5)}^2}}} < 0;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \frac{{1 + \frac{5}{x}}}{{1 - \frac{5}{x}}} = 1$%

На основании этого можно сделать вывод что функция $%f(x)$% убывает и стремится к $%1$% при $%x > 5$%. Отсюда $%E(f(x)) = (1; + \infty )$%, тогда $%E({\log _7}f(x)) = (0; + \infty )$% . На всей области определения функция монотонно убывает.

Сделаем замену $%{\log _7}(x + 5) - {\log _7}(x - 5) = t \in (0;\infty )$%. Новое условие задачи звучит так: При каких значениях параметра $%a$% уравнение $%{t^2} - 5t - 9{a^2} - 9a + 4 = 0$% имеет ровно два положительных корня.

$%\begin{cases}D>0\\{t_1} \cdot {t_2} > 0\\{t_0} > 0\end{cases}=>\begin{cases}25 - 4 \cdot (4 - 9{a^2} - 9a) > 0\\4 - 9{a^2} - 9a > 0\\\frac{5}{2} > 0\end{cases}=> a \in ( - \frac{4}{3}; - \frac{1}{2}) \cup ( - \frac{1}{2};\frac{1}{3})$%

ссылка

отвечен 5 Июн '14 18:00

10|600 символов нужно символов осталось
0

А как решить это же самое задание только с таким уравнением $$(log_{8}(x+a)-log_{8}(x-a))^{2}-12a(log_{8}(x+a)-log_{8}(x-a))+35a^{2}-6a-9=0$$ Нужно отдельно рассматривать, когда a положительно и когда отрицательно ?

ссылка

отвечен 8 Июн '14 0:01

изменен 8 Июн '14 0:35

@Пильсбери: проверьте, пожалуйста, условие. Тут по многим признакам похоже, что вместо $%-35a^2$% должно быть $%+35a^2$%.

(8 Июн '14 0:17) falcao

Да, точно ) Исправил .

(8 Июн '14 0:35) Пильсбери

В исправленном варианте квадратное уравнение (после замены) имеет корни $%7a+3$% и $%5a-3$%. Через эти значения однозначно выражается $%x$%. Далее надо проверить, при каких значениях параметра найденные корни удовлетворяют условию $%x > |a|$%.

(8 Июн '14 9:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×259
×257

задан
5 Июн '14 16:43

показан
1854 раза

обновлен
8 Июн '14 9:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru