На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно. А) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38? Б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы? В) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5.Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

задан 5 Июн '14 21:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

A) Нет, поскольку $%4/11=0,(36)$%, что округляется до 36, а $%5/11=0,(45)$%, что округляется до 45 (то и другое -- в процентах).

Б) Здесь, как я понимаю, предыдущее условие про 11 голосовавших уже не действует (в противном случае отрицательный ответ очевиден). В общем случае такое быть могло. Пусть всего участвовало $%3k$% голосовавших, и количество отданных голосов составило $%k-1$%, $%k$% и $%k+1$% соответственно. Рейтинг второго футболиста составил 33 после округления числа $%33,(3)$%. Из общих соображений ясно, что при $%k\to\infty$% обе величины $%\frac{k-1}3$% и $%\frac{k+1}3$% стремятся к $%\frac13$%, при достаточно больших $%k$% рейтинг каждого составит 33. Чтобы не привлекать соображений "предельного" характера, приведём конкретный пример. Нужно, чтобы отношение $%\frac{k+1}{3k}=\frac13+\frac1{3k}$% не достигло величины $%0,335$%; для этого подходит любое $%k\ge201$%. Этой оценки достаточно, чтобы рейтинг первого футболиста также был равен 33 (здесь даже условия $%k\ge40$% хватает).

В) Пусть $%n$% -- общее число голосов, включая голос Васи, и пусть $%k$% -- число голосов, отданное за данного футболиста, также включая голос Васи. Тогда $%\frac{k}n\in[0,045;0,055)$% и $%\frac{k-1}{n-1}\in[0,045;0,055)$%. Это означает, что $%200k\in[9n;11n)$% и $%200k-200\in[9n-9;11n-11)$%. Эти условия, взятые вместе, равносильны тому, что $%9n+191\le200k\le11n-1$%. Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего $%n\ge96$%, для которого отрезок $%[9n+191;11n-1]$% содержит число, кратное $%200$%.

Понятно, что число $%1000$% сюда уже не попадает, так как $%9\cdot96+191 > 1000$%. Следующим будет число $%1200$%, и оно попадает в отрезок при $%n\le\frac{1009}9=112,...$% и $%n\ge\frac{1201}{11}=109,...$%. Наименьшим числом с этим свойством является $%n=110$%. Другие числа, кратные $%200$%, можно не рассматривать, так как уже для $%1400$% получается слишком большое $%n$%.

Таким образом, $%n=110$%. При этом с голосом Васи получается отношение $%\frac6{110}$%, что в процентах равно $%5,(45)$%, то есть округляется до пяти. До поданного Васей голоса, отношение было равно $%\frac5{109}$%, что в процентах больше, чем $%4,58$%, и также округляется до пяти.

ссылка

отвечен 5 Июн '14 22:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,936

задан
5 Июн '14 21:05

показан
5378 раз

обновлен
5 Июн '14 22:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru