Подпространство W четырехмерного евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений. Найти в этом базисе матрицу линейного преобразования, заключающегося в ортогональном проектировании пространства на W, указать собственные числа и собственные векторы преобразования, описать его ядро и образ.

$$\left\{\begin{matrix} x_1 & - & x_2 & - & 8x_3 & + & 8x_4 & = & 0\\ x_1 & - & x_2 & - & 5x_3 & + & 5x_4 & = & 0 \end{matrix}\right.$$

Решение

$$\left\{\begin{matrix} x_1 & - & x_2 & - & 8x_3 & + & 8x_4 & = & 0\\ x_1 & - & x_2 & - & 5x_3 & + & 5x_4 & = & 0 \end{matrix}\right.$$

Вычтем из второго уравнения первое

$$\left\{\begin{matrix} x_1 & - & x_2 & - & 8x_3 & + & 8x_4 & = & 0\\ & & & & 3x_3 & - & 3x_4 & = & 0 \end{matrix}\right.$$

Фундаментальная система решений: $$e_1=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix},e_2 =\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

Дополним этот базис до ортогонального базиса всего пространства: $$e_3=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -1\\ 1 \end{pmatrix},e_4 =\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

Длина каждого из векторов базиса e равна квадратному корню из 2.

Ортогональное проектирование фи пространства R^4 на подпространство W переводит векторы $$c_1e_1+c_2e_2+c_3e_3+c_4e_4$$ в векторы $$c_1e_1+c_2e_2$$

Образ оператора - это W

Ядро - это векторы вида c_3e_3 + c_4e_4

Матрица преобразования в базисе e_1,e_2,e_3,e_4 $$[\varphi]=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

А дальше я запутался

Вообще, я где-то встречал, что в базисе e матрицу [\varphi]_e можно найти по формуле $$[\varphi]_e=[e]^{-1}_a[\varphi]_a[e]_a$$, где

$$[e]_a$$ матрица перехода от базиса a к базису e $$[e]^{-1}_a=[a]_e$$ матрица перехода от базиса e к базису a

Не смотрите на совпадающие буквы, обозначающие e. Эту формулу я видел в книжке. Я думаю, что моя матрица $$[\varphi]$$ это и есть $$[\varphi]_a$$ Но я запутался дальше. Подскажите какой базис есть какой в терминах формулы $$[\varphi]_e=[e]^{-1}_a[\varphi]_a[e]_a$$

задан 8 Июн '14 13:02

изменен 8 Июн '14 13:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут действительно надо применять указанную формулу, сопрягая матрицу преобразования $%\varphi$% подходящей матрицей. Если $%T$% -- это матрица перехода от стандартного базиса к новому базису $%e_1$%, ... , $%e_4$%, то она состоит из этих векторов как из столбцов. Поскольку матрица преобразования нам известна в новом базисе, а мы хотим найти её для старого базиса, то это делается по формуле $%T[\varphi]T^{-1}$%. Нетрудно проверить, что при этом получится матрица, состоящая из чисел $%\frac12$% и $%0$% и имеющая "блочный" вид. Вектор $%(x_1,x_2,x_3,x_4)$% будет проектироваться в вектор $%(\frac{x_1+x_2}2,\frac{x_1+x_2}2,\frac{x_3+x_4}2,\frac{x_3+x_4}2)$%. Это соответствует "уравниванию" координат, то есть мы действительно попадаем в подпространство $%W$%. Столбцы я записал в виде строк для удобства.

ссылка

отвечен 8 Июн '14 15:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,413

задан
8 Июн '14 13:02

показан
859 раз

обновлен
8 Июн '14 15:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru