Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины Х,У задана формулой:

f(x,y) = Cxy , 0<=x<=1 , 0<=y<=1-x

      0, (в остальных случаях)

Найти: С, Fx(x), Fy(y), M[x], M[y] (мат. ожидание), ∂[x], ∂[y] (cреднеквадратическое отклонение), корреляционный момент, коэффициент корреляции.

задан 8 Июн '14 15:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

Интеграл от плотности случайной величины должен быть равен единице: $$C\int\limits_0^1x\,dx\int\limits_0^{1-x}y\,dy=1.$$ Вычисление интеграла даёт $%\frac12\int\limits_0^1x(1-x)^2dx=\frac1{24}$%, откуда $%C=24$%.

Функция распределения случайной величины $%X$% равна $$F_X(a)=P\{X\le a\}=C\int\limits_0^ax\,dx\int\limits_0^{1-x}y\,dy=12\int\limits_0^ax(1-x)^2dx=6a^2-8a^3+3a^4$$ при $%a\in[0;1]$%. При $%a < 0$% значение функции распределения равно нулю, при $%a > 1$% оно равно единице. Для случайной величины $%Y$% функция распределения точно такая же, что ясно из соображений симметрии.

Пусть $%p(a)=F_X(a)'=12a-24a^2+12a^3$% -- плотность распределения случайной величины $%X$% при $%a\in[0;1]$% (вне этого отрезка плотность равна нулю). Тогда $%MX=\int\limits_0^1ap(a)da=\frac25$%. Для величины $%Y$% значение будет такое же.

Далее, $%MX^2=\int\limits_0^1a^2p(a)da=\frac15$%. Отсюда $%DX=MX^2-(MX)^2=\frac1{25}$%. Тем самым, $%\sigma_X=\sigma_Y=\sqrt{DX}=\frac15$%.

Найдём ковариацию случайных величин (она же -- "корреляционный момент"). Для начала, $$MXY=C\int\limits_0^ax^2\,dx\int\limits_0^{1-x}y^2\,dy=8\int\limits_0^1x^2(1-x)^3\,dx=\frac2{15}.$$ Отсюда $%cov(X,Y)=MXY-MX\cdot MY=-\frac2{75}$%.

Наконец, находим коэффициент корреляции $%r_{X,Y}=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=-\frac23$%.

ссылка

отвечен 8 Июн '14 16:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,218

задан
8 Июн '14 15:39

показан
553 раза

обновлен
8 Июн '14 16:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru