интегралы - Объем тела, ограниченного поверхностями

Приравняем между собой оба выражения для $%z$%. Получится $%x^2+y^2=4x$%, что равносильно $%(x-2)^2+y^2=4$%. Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке $%(2;0)$%. Тело, объём которого надо вычислить, в проекции на плоскость $%Oxy$% даёт круг, заданный неравенством $%(x-2)^2+y^2\le4$%. При этом $%x^2+y^2\le4x$%, то есть мы интегрируем по кругу разность двух функций, а именно, $%4x-x^2-y^2=4-(x-2)^2-y^2$%.

Удобно перенести начало координат в точку $%(2;0)$%, то есть заменить всюду $%x-2$% на $%x$%. Тогда окажется, что у нас имеется круг радиуса 2 с центром в нуле, и по нему надо проинтегрировать функцию $%4-x^2-y^2$%. Вычисление этого интеграла проще всего осуществить в полярных координатах. После осуществления полярной замены, с учётом того, что $%dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$%, получится $$\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^2r(4-r^2)\,dr,$$ что легко вычисляется.