Найти все значения $%a$%, при которых неравенство выполняется для всех $%x$%: $$\log_5 (a \cos 2x-(1+a^2-\cos^2x)\sin x+ 4- a)\leq1$$ У меня получилось, что логарифмируемое должно быть от нуля до пятерки, и получается неравенство $%0< -\sin x(a+\sin x)^2+4\leq 5$%, и пока непонятно, что нужно проверять, чтобы оно выполнялось всегда.

задан 11 Июн '14 18:55

изменен 11 Июн '14 20:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

По-моему, Вы основную часть уже сделали. Надо только заменить одно из неравенств на строгое (там, где ноль). Далее надо положить $%t=\sin x$% и проверить, при каких $%a$% условие $%f(t)=t(t+a)^2\in[-1;4)$% выполнено для всех $%t\in[-1;1]$%. Для этого надо сначала проверить случаи $%t=-1$% и $%t=1$%, откуда вытекает необходимое условие $%a\in[0;1)$%. Легко также видеть, что $%a=0$% точно подходит. Далее считаем, что $%a\in(0;1)$%. Остаётся проверить значения функции в критических точках.

Поскольку $%f'(t)=3t^2+4at+a^2=(3t+a)(t+a)$%, критические точки будут принадлежать отрезку от -1 до 1, а именно, $%-1 < -a < -\frac{a}3 < 0 < 1$%. Поскольку нами учтены все точки, где функция на отрезке принимает наибольшее и наименьшее значение, остаётся проверить $%f(-a)=0$%, что нам подходит, а также $%f(-\frac{a}3)=-\frac4{27}a^3$%, что входит в промежуток $%[-1;4)$%. Окончательно имеем $%a\in[0;1)$%.

ссылка

отвечен 11 Июн '14 19:58

В смысле, заменить на нестрогое, наверное?

(11 Июн '14 20:00) student

Это я опечатался...

(11 Июн '14 20:00) student
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534

задан
11 Июн '14 18:55

показан
758 раз

обновлен
11 Июн '14 20:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru