Определите, 1) при каких значениях $%a$% существует такое число $%b$%, что уравнение $$5\cos x + \sin x + \cos(x-b)=a$$ имеет решения; 2) при каких $%a$% это уравнение имеет решения при любом $%b$%.

задан 11 Июн '14 19:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Меняя значение $%b$% при любых заданных $%a$% и $%x$%, можно добиться того, чтобы $%\cos(x-b)$% принял какое угодно значение из отрезка $%[-1;1]$%. С учётом того, что множеством значений функции $%5\cos x+\sin x$% является отрезок $%[-\sqrt{26};\sqrt{26}]$%, вопрос сводится к следующему: при каких $%a$% отрезки $%[-1;1]$% и $%[a-\sqrt{26};a+\sqrt{26}]$% пересекаются? Нетрудно видеть, что это имеет место в точности при $%a\in[-1-\sqrt{26};1+\sqrt{26}]$%, что и будет ответом. (Здесь можно представить себе ситуацию, когда отрезки не пересекаются, а это бывает при $%1 < a-\sqrt{26}$% или при $%a+\sqrt{26} < -1$%, откуда всё следует.)

2) Левую часть уравнения представим в виде $%(5+\cos b)\cos x+(1+\sin b)\sin x$%. При фиксированном $%b$% такая функция имеет множество значений $%[-k;k]$%, где $%k=k(b)=\sqrt{(5+\cos b)^2+(1+\sin b)^2}$%. Упрощая, получаем $%k(b)=\sqrt{27+2(5\cos b+\sin b)}$%. Чтобы уравнение имело решение при данном $%b$%, необходимо и достаточно, чтобы $%a$% принадлежало отрезку $%[-k(b);k(b)]$%. Соответственно, уравнение будет иметь решение при любом $%b$%, когда $%a$% принадлежит пересечению отрезков такого вида по всем $%b$%.

Как уже отмечалось, величина $%5\cos b+\sin b$% меняется в пределах от $%-\sqrt{26}$% до $%\sqrt{26}$%. Поэтому $%k(b)$% будет минимальным при условии $%5\cos b+\sin b=-\sqrt{26}$%, когда $%k=\sqrt{27-2\sqrt{26}}=\sqrt{26}-1$%. Ясно, что отрезок $%[-k;k]$% для этого значения $%k$% и будет пересечением всех отрезков рассматриваемого вида. Таким образом, здесь $%a\in[1-\sqrt{26};\sqrt{26}-1]$%.

ссылка

отвечен 11 Июн '14 21:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×259

задан
11 Июн '14 19:30

показан
399 раз

обновлен
11 Июн '14 21:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru