Найти все значения параметра $%a$%, при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции $%y=x(|x|-2)$% на отрезке $%[a,a+3]$% достигает наименьшего значения.

задан 12 Июн '14 15:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Легко видеть, что функция здесь нечётная. Полезно построить её график, хотя эта информация в решении не будет существенно использоваться. При $%x\ge0$% рисуем часть параболы $%y=(x-1)^2-1$%, а для отрицательных $%x$% берём её образ при центральной симметрии. Внешне всё вместе напоминает график кубического многочлена.

Концы отрезка $%[a;a+3]$% могут быть расположены по одну сторону от нуля, или по разные. Рассмотрим случай, когда $%a\ge0$%. Тогда разность значений функции на концах составит $%(a+2)^2-(a-1)^2=6a+3\ge3$%. Разность между наибольшим и наименьшим значением, тем самым, будет не меньше трёх. Как будет видно из дальнейшего, это значение не оптимально.

Случай, когда $%a+3\le0$%, когда отрезок расположен по левую сторону от нуля, симметричен предыдущему ввиду нечётности функции.

Пусть теперь $%a < 0 < a+3$%. Допустим, что обе точки $%-1$% и $%1$% попали в отрезок $%[a;a+3]$%. Значения в этих точках равны $%1$% и $%-1$% соответственно, поэтому разность между наибольшим и наименьшим значением окажется не меньше двух. Эта величина также не даст оптимального значения, что будет ясно из анализа следующего случая.

Если предыдущий случай не имеет места, то ровно одна из точек $%-1$%, $%1$% попадёт в наш отрезок (легко понять, что хотя бы одна из них точно попадает, поскольку разность абсцисс меньше длины отрезка). Из соображений симметрии предположим, что попала только точка $%1$%, что соответствует условию $%-1 < a < 0$%. При этом надо будет в конце учесть симметричное данному значение параметра $%a$%, чтобы не рассматривать отдельно аналогичный случай.

Наша функция убывает при $%x$% от $%-1$% до $%1$%, и далее возрастает. Наименьшее значение будет достигаться в точке $%x=1$%, и оно равно $%-1$%. Поэтому нашей задачей является минимизация наибольшего значения функции, достигаемого на одной из концов и равного максимуму чисел $%f(a)=-a(a+2)$% и $%f(a+3)=(a+1)(a+3)$%. Из геометрических соображений должно быть ясно, что эти значения для оптимального случая (который заведомо достигается) должны совпадать. В противном случае отрезок можно немножко сдвинуть, улучшая (уменьшая) максимальное из этих двух значений.

Итак, возникает уравнение $%2a^2+6a+3=0$%, которое на интересующем нас интервале имеет корень $%a=\frac{-3+\sqrt3}2$%. Легко проверяется, что при этом $%f(a)=f(a+3)=\frac{\sqrt3}2$%. Проще всего увидеть это без вычислений с иррациональностями -- на том основании, что $%a^2=-3a-\frac32$% из квадратного уравнения, и тогда $%f(a)=-a^2-2a=a+\frac32=\frac{\sqrt3}2$%. Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке при этом равна $%1+\frac{\sqrt3}2$%, что меньше двух, то есть значения из предыдущих случаев не будут оптимальными.

Одно из значений $%a$% нами найдено, а симметричное значение получается из него сменой знака у концов отрезка $%[a;a+3]$%. У нас получился отрезок $%[\frac{-3+\sqrt3}2;\frac{3+\sqrt3}2]$% при найденном значении $%a$%. Этим же свойством обладает отрезок $%[-\frac{3+\sqrt3}2;\frac{3-\sqrt3}2]$%, и его левый конец также будет одним из двух ответов для $%a$%.

Итого $%a=\frac{-3\pm\sqrt3}2$%.

ссылка

отвечен 12 Июн '14 17:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534

задан
12 Июн '14 15:18

показан
836 раз

обновлен
12 Июн '14 17:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru