При каких значениях параметра $%a$% уравнение $%|1-ax|=1+(1-2a)x+ax^2$% имеет единственное решение?

задан 12 Июн '14 16:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут можно решать многими способами. Изложу какой-нибудь из них.

Прежде всего, ясно, что $%x=0$% всегда будет решением. Надо понять, при каких $%a$% других решений не будет. Полезно сразу заметить, что $%a=0$% нам подходит, так как уравнение принимает вид $%x=0$%. Далее считаем, что $%a\ne0$%.

Пусть $%1-ax\ge0$%. Тогда после упрощений и сокращения на $%x\ne0$% получится $%ax+1-a=0$%, и $%x=\frac{a-1}a$%. Условие $%ax\le1$% выполнено при $%a\le2$%. Если при этом $%a\ne1$%, то корень получается ненулевой.

Пусть $%1-ax < 0$%. После домножения на $%a\ne0$% получится уравнение $%t^2+(1-3a)t+2a=0$%, где $%t=ax$%. Можно считать, что $%a > 2$%, так как случай $%a\le2$% уже исследован. Отдельно надо иметь в виду ещё возможность $%a=1$%, где надо проверить, что ненулевые корни отсутствуют, но здесь это ясно, так как получается уравнение с отрицательным дискриминантом.

При $%a > 2$% дискриминант положителен ввиду $%D=(1-3a)^2-8a=9a^2-14a+1=(3a-\frac73)^2-\frac{40}9 > \frac{81}9 > 0$%. Значит, корни есть. Их произведение равно $%2a > 4$% по теореме Виета, а сумма равна $%3a-1 > 0$%. Оба корня положительны, и среди них заведомо есть корень $%t=ax > 1$%. Значит, найдётся ненулевое решение на данном промежутке.

Таким образом, подходят только $%a\in\{0;1\}$%.

ссылка

отвечен 12 Июн '14 20:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×647
×534
×259

задан
12 Июн '14 16:56

показан
1299 раз

обновлен
12 Июн '14 20:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru