Решить уравнение при всех a: $%3^{\frac{ax+2}{x^2+2}}+3^{\frac{3x^2-ax+4}{x^2+2}}=12$% (у первой тройки в показателе $%\frac{ax+2}{x^2+2}$%, у второй $%\frac{3x^2-ax+4}{x^2+2}$%

задан 12 Июн '14 17:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Сумма дробей в показателях равна трём. Это значит, что произведение степеней тройки равно 27. Из соображений теоремы Виета ясно, что слагаемые принимают значения 3 и 9. Это происходит в случае, когда $%\frac{ax+2}{x^2+2}$% равно 1 или 2 (вторая дробь, соответственно, будет принимать значения 2 и 1).

Знаменатель дроби всюду положителен, поэтому при решении уравнений с дробями на него можно домножать. Одно из уравнений примет вид $%x^2=ax$%, и его корнями будут $%x\in\{0;a\}$%. Для второго случая получится $%2x^2-ax+2=0$%, что имеет решения $%x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-16}}4$% при $%D=a^2-16\ge0$%. Все корни найдены, и осталось проанализировать их количество при разных значениях параметра.

Если $%a=0$%, то корень всего один: $%x=0$%. При $%a\ne0$%, $%|a| < 4$% корней ровно два: это $%x=0$% и $%x=a$%. При $%a=\pm4$% к ним добавится третий корень, равный $%\frac{a}4$% (он не равен предыдущим). При $%|a| > 4$% корней будет четыре: добавляются два корня квадратного уравнения. Их произведение равно 1, а сумма равна $%\frac{a}2$%. Поэтому 0 среди них не встречается, и значение $%a$% также невозможно. В этом случае корни были бы равны $%a$% и $%\frac1a$%, и оказалось бы, что $%\frac1a=-\frac{a}2$%, но так не бывает (знаки противоположны).

ссылка

отвечен 12 Июн '14 18:06

10|600 символов нужно символов осталось
0

Выделите целую часть во втором показателе, получится $%3-\frac{ax+2}{x^2+2}$%, сделайте замену $%3^\frac{ax+2}{x^2+2}=t$%, решите квадратное уравнение $%3^t+ \frac {27}{3^t}=12$%, $%t=1,t=2$%, вернитесь к замене и решите совокупность двух квадратных уравнений. Выпишите корни(учитывая дискриминант - у меня в одном получился положительный всегда $%x=0,x=a$%), приравняйте их, чтобы убедиться при каких $%a$% они одинаковые, а при каких - разные, например, при $%a=0$% записанные корни - одинаковые.

ссылка

отвечен 12 Июн '14 17:50

изменен 12 Июн '14 17:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×493
×461
×234

задан
12 Июн '14 17:31

показан
711 раз

обновлен
12 Июн '14 18:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru