|
Найдите все $%a$%, при которых уравнение $%\frac{(x^3-1)(x^2-16)}{\lg(15a-x)-\lg(x-a)}=0$% имеет единственный корень. задан 12 Июн '14 17:47 
student |
|
Если $%x$% является корнем, то он может принимать только значения $%1$% и $%\pm4$%. Из них ровно одно должно подходить. При этом требуется, чтобы выполнялись неравенства $%a < x < 15a$%, и при этом знаменатель не обращался в ноль, то есть $%x\ne8a$%. Сразу видно, что $%x=-4$% решением быть не может ни при каком $%a$% (из условия следует, что $%a > 0$%). Число $%x=1$% подходит при $%a < 1 < 15a$% и $%a\ne\frac18$%, то есть при $%a\in(\frac1{15};\frac18)\cup(\frac18;1)$%. Число $%x=4$% подходит при $%a < 4 < 15a$% и $%a\ne\frac12$%, то есть при $%a\in(\frac4{15};\frac12)\cup(\frac12;4)$%. Нам нужно, чтобы $%a$% принадлежало ровно одному из указанных множеств, то есть требуется рассмотреть симметрическую разность (объединение минус пересечение). Располагаем все интересующие нас числа на прямой и смотрим на промежутки. Получится $%x\in(\frac1{15};\frac18)\cup[1;4)$%. отвечен 12 Июн '14 19:43 
falcao |