Интеграл от sqrt(33-4x/32-4x)

задан 12 Июн '14 17:59

Такой интеграл получился у меня в курсовой. Пробовал решить сам... ничего не вышло. А разнообразные калькуляторы считают очень странно (делают по 6-8 замен, появляются косинусы и тангенсы)

(12 Июн '14 18:01) Semi-Soft

Его изначальный вид: sqrt(1 +(-1/2sqrt(8-x))^2)

(12 Июн '14 18:02) Semi-Soft
1

Непонятно, как из второго получился первый

(12 Июн '14 18:08) epimkin

@epimkin (-1/2sqrt(8-x)) возводим в квадрат. Получаем (1/4(8-x))=(1/32-4x). Потом прибавляем целую чаcть

(12 Июн '14 18:17) Semi-Soft
1

@Semi-Soft, понятно, я думал квадрат под корнем

(12 Июн '14 18:22) epimkin

@epimkin извиняюсь, за неточность в записи.

(12 Июн '14 18:24) Semi-Soft
1

@Semi-Soft: нужно всегда помнить о роли скобок в математических выражениях. Вам, как сейчас стало ясно, следовало написать sqrt((33-4x)/(32-4x)), и никак иначе. В противном случае подкоренное выражение читается как $%33-\frac{4x}{32}-4x$%, а это явно не то. "Экономия" на скобках совершенно неуместна, и "расшифровка" того, что должно быть как наиболее вероятное -- занятие не самое плодотворное. Два нажатия клавиш, и не надо ломать голову над "ребусами".

(12 Июн '14 18:30) falcao
1

@Semi-Soft, удалил свой ответ:ошибся в преобразовании подкоренного выражения. Если интеграл определенный, то нужно, или при замене переменных менять и пределы интегрирования, или после получения ответа с замененными переменными переходить назад к старым переменным

(12 Июн '14 20:35) epimkin
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
3

Положим $%y=32-4x$%. При этом $%dy=-4dx$%. Нас интересует величина $%-\frac14I$%, где $$I=\int\sqrt{\frac{1+y}y}dy=\int\frac{1+y}{\sqrt{y^2+y}}dy\,.$$ Числитель представим как $%(y+\frac12)+\frac12$%, и интеграл станет равен сумме двух интегралов $%I_1+I_2$%. Для первого из них $$I_1=\int\frac{y+1/2}{\sqrt{y^2+y}}dy=\int\frac{d(y^2+y)}{2\sqrt{y^2+y}}=\sqrt{y^2+y}$$ с точностью до константы. Второе слагаемое равно $$\frac12\int\frac{d(y+1/2)}{\sqrt{(y+1/2)^2-(1/2)^2}}.$$ Это табличный интеграл вида $%\int\frac{dz}{\sqrt{z^2-a^2}}$%, и с точностью до константы получается $$I_2=\frac12\ln\left(y+\frac12+\sqrt{y^2+y}\right).$$ Дальнейшее просто.

ссылка

отвечен 12 Июн '14 20:16

@falcao: У меня этот интеграл с верхним пределов 4, а нижним 0. При подстановке получается отрицательное число. Но так быть не может, так как с помощью интеграла я ищу длину дуги.

(12 Июн '14 20:56) Semi-Soft
1

@Semi-Soft: интегрируется положительная функция, поэтому значение интеграла положительно. При подстановке получается положительное значение (4 с небольшим). Я не знаю, как оно у Вас вышло отрицательным. Если покажете свои выкладки, я постараюсь указать на ошибку.

(12 Июн '14 21:07) falcao
1

@Semi-Soft: всё понятно -- Вы нашли $%I$%, а ответ равен $%-\frac14I$%, как у меня было сказано в начале. Поэтому там в итоге и будет +4 с чем-то.

P.S. Ещё проще будет считать через $%y$%, которая меняется от 32 до 16. Переходить к $%x$% не обязательно. С учётом множителя $%-1/4$%, получится $%(F(32)-F(16))/4$%, где $%F(y)$% -- первообразная (сумма корня и половины логарифма).

(12 Июн '14 21:29) falcao

@falcao: откуда берутся пределы y: 16 и 32?

(12 Июн '14 21:38) Semi-Soft
1

@Semi-Soft: из вида замены $%y=32-4x$%. При $%x=0$% получается 32, а при $%x=4$% будет 16.

(12 Июн '14 21:45) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,672
×1,552
×1,050
×50

задан
12 Июн '14 17:59

показан
886 раз

обновлен
12 Июн '14 21:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru