Используя алгоритм Евклида найти НОД и выразить его через исходные многочлены

$$f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2$$

$$g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$$

НОД нашел, он равен 1. А вот что значит выразить его через исходные многочлены? И как это сделать?

задан 12 Июн '14 21:22

изменен 12 Июн '14 23:04

Deleted's gravatar image


126

По-моему, Вы ошиблись при нахождении НОД. Он здесь равен $%x^2-2$%. Проверьте.

(12 Июн '14 21:40) falcao

ой, не то наисал. Все вено, НОД будте x^2-2

(12 Июн '14 22:35) Jan
10|600 символов нужно символов осталось
1

Под словом "выразить" в этом контексте имеется в виду представление наибольшего общего делителя в виде $%d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)$%, где $%u(x)$% и $%v(x)$% -- какие-то многочлены. Их требуется найти, чтобы выполнялось указанное равенство. Есть теорема, что для НОД оно будет выполнено при удачном выборе множителей.

Одним из способов решить эту задачу является метод неопределённых коэффициентов. Пусть степени $%f$% и $%g$% равны $%m$% и $%n$%. Тогда $%u$% и $%v$% подбираются в виде выражений степени $%n-1$% и $%m-1$% с буквенными коэффициентами. После раскрытия скобок и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях у многочленов в левой и правой части получится система из $%m+n$% линейных уравнений от такого же количества неизвестных. Этот метод очень часто бывает удобен, но здесь лучше поступить по-другому.

Алгоритм Евклида в общем виде устроен так. Сначала делим $%f_1$% на $%f_2$%, получая остаток $%f_3$%. Затем делим $%f_2$% на $%f_3$%, обозначая остаток через $%f_4$%. И так далее, пока не окажется, что $%f_{n-1}$% нацело разделилось на $%f_n$%. Тогда $%f_n$% и будет являться НОД.

Теперь, идя по записям снизу вверх, мы сначала выражаем $%f_n$% через $%f_{n-1}$% и $%f_{n-2}$%. Это легко сделать, так как $%f_n$% появилось как остаток от деления $%f_{n-2}$% на $%f_{n-1}$%. Далее мы можем по такому же принципу выразить $%f_{n-1}$% через $%f_{n-2}$% и $%f_{n-3}$%. Подставляя это выражение в предыдущую формулу, мы сможем избавиться от $%f_{n-1}$%, после чего $%f_n$% окажется выраженным уже через $%f_{n-2}$% и $%f_{n-3}$%. Далее идём вверх по такому же принципу, и итогом будет выражение $%f_n$% через $%f_1$% и $%f_2$%, что нам и требуется.

Для примера: пусть $%f_1=f_2q_1+f_3$%, $%f_2=f_3q_2+f_4$%, $%f_3=f_4q_3$%. Тогда НОД равен $%f_4$%, и мы его выражаем как $%f_4=f_2-f_3q_3=f_2-(f_1-f_2q_2)q_3$%, и далее после упрощений получается выражение вида $%f_1u+f_2v$%.

ссылка

отвечен 12 Июн '14 23:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,541
×1,337
×58

задан
12 Июн '14 21:22

показан
6862 раза

обновлен
12 Июн '14 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru