Найти поток векторного поля через заданную поверхность S.

a=(3x-y)i+4zyj-x^2zk.

S:x^2+y^2+z^2=2z

M(0;0;1/2).

Дивергенцию я посчитал. divA=3+4z-x^2


Дальше не понимаю алгоритма решения. Там вроде как нужно переходить в сферические координаты. Не знаю как расставить пределы.

задан 13 Июн '14 0:00

@falcao: А можете по подробнее объяснить: почему интеграл от z = 0?

(19 Июн '14 9:55) Semi-Soft

@falcao: Все спасибо, я разобрался.

(19 Июн '14 9:57) Semi-Soft
10|600 символов нужно символов осталось
2

Непонятно, какую роль в этом условии играет точка $%M$%.

Интеграл от дивергенции по шару можно вычислять и в декартовых координатах, и в цилиндрических. Прежде всего, удобно представить уравнение сферы в виде $%x^2+y^2+(z-1)^2=1$%, а затем сдвинуть центр в начало координат посредством замены $%z\mapsto z+1$%. Получится такой тройной интеграл: $$\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le1}(7+4z-x^2)\,dV.$$

Пределы интегрирования можно было бы расставить так (в декартовой системе): $%-1\le x\le1$% (для "внешнего" интеграла), $%-\sqrt{1-x^2}\le y\le\sqrt{1-x^2}$% для "среднего", и $%-\sqrt{1-x^2-y^2}\le z\le\sqrt{1-x^2-y^2}$% (для "внутреннего"). В данном случае можно избежать сложных вычислений следующим образом.

Будем интегрировать отдельно каждое слагаемое. Для числа $%7$% получится $%7V$%, где $%V=\frac43\pi R^3$% -- объём шара (в нашем случае $%R=1$%). Интеграл от функции $%z$% равен нулю, что ясно без вычислений, так как область симметрична, а функция нечётна.

Наконец, при вычислении интеграла от функции $%x^2$% можно заметить, что точно такими же будут интегралы от $%y^2$% и от $%z^2$% из соображений симметрии. Поэтому достаточно проинтегрировать функцию $%x^2+y^2+z^2$% и поделить на 3 то, что получится.

Для каждого $%r$% от $%0$% до $%R=1$% мы интегрируем величину $%x^2+y^2+z^2=r^2$% по сфере радиуса $%r$%. Величина постоянна, и она умножается на площадь поверхности сферы, которая равна $%4\pi r^2$%. Получается, что интегрируем мы $%4\pi r^4$% от 0 до 1, получая $%\frac45\pi$%. С учётом деления на 3, окончательный ответ для значения исходного интеграла будет равен $%7\cdot\frac43\pi-\frac4{15}\pi=\frac{136}{15}\pi$%.

Добавление. После замены $%z\mapsto z+1$% получился интеграл по единичному шару с центром в нуле от функции $%3+4(z+1)-x^2=4+4z-x^2$%; он был выписан выше. Его представляем в виде $%7I_1+4I_2-I_3$%, где $%I_1=\frac43\pi$% -- объём единичного шара, $%I_2=0$%, так как интегрируется нечётная функция по отрезку $%[-1;1]$%. Для оставшегося интеграла имеем: $$\int\limits_{-1}^1dz\int\limits_0^{\sqrt{1-z^2}}r^3\,dr\int\limits_0^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi.$$ Здесь была применена цилиндрическая замена координат, из которой $%x^2=r^2\cos^2\varphi$%, а также произошло домножение на $%r$% как якобиан полярной замены координат.

Ясно, что "внутренний" интеграл равен $$\int\limits_0^{2\pi}\frac{1+\cos2\varphi}2=\frac{2\pi}2=\pi,$$ и это число выносим в качестве множителя. Далее, интеграл $%\int\limits_0^{\sqrt{1-z^2}}r^3\,dr$% равен $%\frac14r^4$% в пределах от $%0$% до $%{\sqrt{1-z^2}}$%, то есть $%\frac14(1-z^2)^2$%. Множитель $%\frac14$% также выносим, и остаётся $$\int\limits_{-1}^1(1-z^2)^2dz=2\int\limits_{0}^1(1-2z^2+z^4)dz=2(1-\frac23+\frac15)=\frac{16}{15}.$$ Итого, с учётом множителей, имеем $%I_3=\frac{\pi}4\cdot\frac{16}{15}=\frac{4\pi}{15}$%, как и утверждалось выше.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 2:02

изменен 13 Июн '14 17:23

@falcao: я решил вот так. У меня другой ответ получился. Можете посмотреть? http://upload.akusherstvo.ru/image645867.jpg

(13 Июн '14 3:01) Semi-Soft

Вычисления там слишком сложные, проверять их трудно, и многие переходы непонятны (особенно в конце). Но там ошибка в самом начале, потому что у переменной $%z$% пропал множитель $%r$%, а также слагаемое 1 (с учётом того, где центр сферы).

Вообще, если считать "традиционным" способом, то проще через цилиндрические координаты. Я во время перекура устно сосчитал этим способом, чтобы сравнить ответ.

(13 Июн '14 3:09) falcao

@falcao: откуда получается (7+4z-x^2)? Если у меня дивергенция (3+4z-x^2)

(13 Июн '14 3:26) Semi-Soft

Это учёт сдвига начала координат в точку (0;0;1). У меня в решении написано, что мы заменяем $%z$% на $%z+1$%. Получается единичный шар с центром в нуле, а подынтегральная функция приобретает вид $%3+4(z+1)-x^2$%, и вместо 3 появляется 7.

(13 Июн '14 3:32) falcao

@falcao: Спасибо. А можете написать получившийся тройной интеграл со всеми пределами и от чего брать каждый интеграл, а я то немного запутался в текстовом оформлении.

(13 Июн '14 3:36) Semi-Soft

Давайте я напишу, как вычислять интеграл от $%x^2$% "традиционным" способом в цилиндрических координатах. Для двух остальных слагаемых всё можно сделать так же, но там проще увидеть, что получается объём шара в первом случае и 0 во втором.

(13 Июн '14 11:21) falcao

@falcao: в конце с формулой что-то не так

(13 Июн '14 15:19) Semi-Soft

Там набрано было всё правильно, и в предварительном просмотре всё читалось, но тут есть какая-то особенность редактора, который некоторые из формул показывает с искажениями. Пришлось чуть изменить текст, "разбавив" формулы словами.

(13 Июн '14 17:25) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,465
×1,522
×1,027
×43

задан
13 Июн '14 0:00

показан
1299 раз

обновлен
19 Июн '14 9:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru