Решить неравенство при каждом $%a$%: $$\log_a (3a^x-5)< x+1$$

задан 13 Июн '14 13:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим отдельно два случая.

1) $%a > 1$%. Получается двойное неравенство $%0 < 3a^x-5 < a\cdot a^x$%. Из этого следует, что $%a^x > \frac53$%. Кроме того, $%(3-a)a^x < 5$%. Последнее неравенство справедливо при всех $%x$%, если $%a\ge3$%, то есть его можно не учитывать, и при этом условии $%x\in(\log_a\frac53;+\infty)$%.

Пусть $%1 < a < 3$%. Здесь $%a^x < \frac5{3-a}$%, и последнее число больше $%\frac53$%. Здесь получается, что $%a\in(\log_a\frac53;\log_a\frac5{3-a})$%.

2) $%0 < a < 1$%. Неравенство приобретает вид $%3a^x-5 > a\cdot a^x$%, то есть $%(3-a)a^x > 5$%. Множитель в левой части положителен, откуда $%a^x > \frac5{3-a}$%, и ввиду убывания показательной функции в этом случае, имеем $%x\in(-\infty;\log_a\frac5{3-a})$%.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 19:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если $%0< a<1$%, то $$\begin{cases}3a^x-5>a\cdot a^x,\\3a^x-5>0\end{cases}$$ и $%x<\log_a\frac{5}{3-a}$%.

Если $%1< a<3$%, то $$\begin{cases}3a^x-5< a\cdot a^x,\\3a^x-5>0\end{cases}$$ и $%\log_a\frac{5}{3}< x<\log_a\frac{5}{3-a}$%

Если $%a\geqslant 3$%, то $%x>\log_a{5/3}$%.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 19:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×311

задан
13 Июн '14 13:44

показан
951 раз

обновлен
13 Июн '14 19:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru