При каких $%a$% неравенство $$\cos x-2\sqrt{x^2+9}\leq-\frac{x^2+9}{a+\cos x}-a$$ имеет единственное решение?

задан 13 Июн '14 14:26

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$\frac{x^2+9}{a+\cos x}-2\sqrt{x^2+9}+\cos x+a\leqslant 0$$ В силу четности решение единственно, только если этим решением будет $%x=0$%. Откуда $%\frac{9}{a+1}-6+1+a\leqslant 0$%. Пусть $%t=a+1$%, откуда $%\frac{(t-3)^2}{t}\leqslant 0$% и $%t=3$% или $%t<0$%.

Пусть $%t=3$%, т.е. $%a=2$%. Тогда неравенство перепишется в виде $$(\sqrt{2+\cos x}-\sqrt\frac{x^2+9}{2+\cos x})^2\leqslant 0$$ откуда $%2+\cos x=\sqrt{x^2+9}$%. Левая часть не больше трех, правая - не меньше. Поэтому равенство достигнется только при $%x=0$%.

Пусть теперь $%t<0$%, то есть $%a<-1$%, то есть $%a+\cos x<0$%. Тогда равенство запишется в виде $$(\sqrt{-a-\cos x}+\sqrt\frac{x^2+9}{-a-\cos x})^2\geqslant 0,$$ что верно при любых значениях $%x$%.

Ответ: $%a=2$%.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 15:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Так как обе части неравенства четные функции от $%x$%, значит если $%x_0$% решение неравенства, то $%-x_0$% тоже решение этого уравнения. Отсюда следует, что единственное решение неравенства будет $%0.$% Подставим значение $%0$% в неравенство, получим

$%\frac9{a+1}+(a+1)\le 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} a+1<0 \\ \begin{cases}a+1>0 \\(a+1)^2-6(a+1)+9\le0 \end{cases} \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} a<-1 \\ \begin{cases}a>-1 \\(a+1-3)^2\le0 \end{cases} \end{aligned}\right.\Leftrightarrow$%

$%\Leftrightarrow a\in(-\infty;-1)\cup\{2\}.$% Остается проверить при этих значений неравенство имеет единственное решение или нет ?

$%\cos x-2\sqrt{x^2+9}\leq-\frac{x^2+9}{a+\cos x}-a\Leftrightarrow (a+cosx)+\frac{x^2+9}{a+cosx}\le 2\sqrt{x^2+9} \Leftrightarrow \frac{a+cosx}{\sqrt{x^2+9}}+\frac{\sqrt{x^2+9}}{a+cosx}\le 2$% При $%a<-1,$% последное неравенсво имеет бесконечное число решений, любое число $%x$% удовлетворяет неравенству, поскольку $% cosx+a < cosx-1 \le 0 $% и левая часть отрицательная.

При $%a=2,$% имеем $% \frac{2+cosx}{\sqrt{x^2+9}}+\frac{\sqrt{x^2+9}}{2+cosx}\le 2. $% Так-как при всех положительних $%b$% имеет место неравенство $%b+\frac1b\ge2,$% то данное неравенство равносильно неравенству $%\frac{2+cosx}{\sqrt{x^2+9}}+\frac{\sqrt{x^2+9}}{2+cosx}=2 \Leftrightarrow \frac{2+cosx}{\sqrt{x^2+9}}=1 \Leftrightarrow 2+cosx=\sqrt{x^2+9}\Leftrightarrow x=0.$%

Ответ. $%a=2.$%

ссылка

отвечен 13 Июн '14 16:08

изменен 13 Июн '14 16:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×312

задан
13 Июн '14 14:26

показан
2049 раз

обновлен
13 Июн '14 16:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru