Найдите все значения $%a$%, для которых при любом положительном $%b$% уравнение $$a \log_{1/x-2}4=\log_2 (1/x-2)-b$$ имеет хотя бы одно решение, меньшее $%1/3$%.

задан 13 Июн '14 15:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку $%\frac1x-2 > 0$%, число $%x$% положительно. Если оно меньше $%\frac13$%, то $%\frac1x-2$% больше 1, и число $%t=\log_2(\frac1x-2)$% положительно. Обратно, при положительном $%t$% число $%x=\frac1{2^t+2}$% будет меньше $%\frac13$%, удовлетворяя при этом указанному условию.

Таким образом, задача сводится к тому, при каких $%a$% для всякого $%b > 0$% найдётся положительное $%t$%, для которого $%\frac{a}{2t}=t-b$%. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $%t$%, а именно, $%t^2-bt-\frac{a}2=0$%. Дискриминант равен $%D=b^2+2a$%. Если $%a < 0$%, то можно подобрать положительное $%b < \sqrt{-2a}$%, при котором дискриминант станет отрицательным, и корней не будет вообще. При $%a=0$% подойдёт корень $%t=b > 0$%. Наконец, при $%a > 0$% дискриминант положителен, а произведение корней равно $%-\frac{a}2$%, то есть среди них найдётся положительный. Ответом будет $%a\in[0;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 18:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×647
×534
×259

задан
13 Июн '14 15:24

показан
648 раз

обновлен
13 Июн '14 18:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru