Докажите, что многочлен $%x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1=0$% делится на $%x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$%

задан 13 Июн '14 17:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Второй многочлен $%g(x)$% имеет корни $%\varepsilon,\varepsilon^2,\varepsilon^3,\varepsilon^4$%, где $%\varepsilon=\cos(2\pi/5)+i\sin(2\pi/5)$%. Причем $%\varepsilon^5=1$%. То есть его можно разложить в произведение неприводимых сомножителей $%g(x)=(x-\varepsilon)(x-\varepsilon^2)(x-\varepsilon^3)(x-\varepsilon^4)$%.

Подставим в первый: $%f(\varepsilon^k)=\varepsilon^{44k}+\varepsilon^{33k}+\varepsilon^{22k}+\varepsilon^{11k}+1=g(\varepsilon^k)=0$% при $%k=1,2,3,4$%. То есть $%f$% делится на каждый сомножитель $%x-\varepsilon^k$%, а значит, и на $%g$%.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 17:36

изменен 13 Июн '14 17:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно так: многочлен $%x^5-1$% делится на $%g(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$% ввиду известного тождества. Тогда первый из многочленов можно записать как $%(x^{44}-x^4)+(x^{33}-x^3)+(x^{22}-x^2)+(x^{11}-x)+g(x)$%. Ясно, что каждое из слагаемых кроме последнего делится на $%x^{10k}-1$% при некотором $%k$% от 1 до 4, а потому и на $%x^{10}-1$%, что делится на $%x^5-1$%, то есть и на $%g(x)$%. Значит, вся сумма делится на $%g(x)$%.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 17:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×499

задан
13 Июн '14 17:11

показан
1415 раз

обновлен
13 Июн '14 17:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru