Вычислить: $%\cos 2\pi/7+\cos 4\pi/7+\cos 6\pi/7$%.

задан 13 Июн '14 17:33

@student, обязательно при помощи комплексных?

(13 Июн '14 17:53) epimkin

@epimkin, в задачнике это в разделе комплексной плоскости. Если можно по-другому - пожалуйста :)

(13 Июн '14 17:54) student

@student: а я не заметил заголовка, сам решил при помощи комплексных чисел, а потом изложил это решение на геометрическом языке, думая, что так будет ближе к школьной программе! :)

А первоначальное рассуждение было такое: берём $%z=\cos{\frac{2\pi}7}+i\sin{\frac{2pi}7}$%. Тогда $%z^7=1$%, но $%z\ne1$%, откуда $%1+z+z^2+z^3+\cdots+z^6=0$%. Последние три слагаемых дают $%z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}$%, а при $%|z|=1$% это то же, что сумма сопряжённых чисел. Поэтому $%w+\bar{w}=-1$%, где $%w=z+z^2+z^3$%. Осталось заметить, что сумма числа и ему сопряжённого равна удвоенной действительной части.

(13 Июн '14 18:22) falcao

@falcao: на самом деле, это (практически) школьный задачник http://ilib.mccme.ru/pdf/alfutova.pdf , хотя школьным его назвать трудновато.

(13 Июн '14 18:25) student
10|600 символов нужно символов осталось
1

Это действительная часть числа $%\varepsilon+\varepsilon^2+\varepsilon^3=\varepsilon(1-\varepsilon^3)/(1-\varepsilon)$%, где $%\varepsilon=\cos2\pi/7+i\sin2\pi/7$%.

$$\frac{\varepsilon(1-\varepsilon^3)}{1-\varepsilon}=\frac{\varepsilon(1-\varepsilon^3)\varepsilon^6}{(1-\varepsilon)\varepsilon^6}=\frac{1-\varepsilon^3}{\varepsilon^6-1}=-\frac{1}{\varepsilon^3+1}=-\frac{1}{\cos6\pi/7+i\sin6\pi/7+1}=$$ $$=-\frac{\cos6\pi/7-i\sin6\pi/7+1}{(\cos6\pi/7+i\sin6\pi/7+1)(\cos6\pi/7-i\sin6\pi/7+1)}$$ Действительная часть равна $$-\frac{\cos6\pi/7+1}{(\cos6\pi/7+1)^2+\sin^26\pi/7}=-\frac{\cos6\pi/7+1}{2(\cos6\pi/7+1)}=-1/2.$$

ссылка

отвечен 13 Июн '14 17:53

изменен 13 Июн '14 18:04

1

Лучше даже так: заметим, что $%\bar\varepsilon^3=\varepsilon^4$% и $%\varepsilon^3+\varepsilon^4=2Re(\varepsilon^3)$%, и $%Re(\varepsilon^3)=Re(\varepsilon^4)$%. Откуда $$\frac{1}{\varepsilon^3+1}=\frac{\varepsilon^4+1}{\varepsilon^3+\varepsilon^4+2}=\frac{\varepsilon^4+1}{2(Re(\varepsilon^3)+1)}$$ Следовательно, $$-Re\frac{1}{\varepsilon^3+1}=-\frac{Re(\varepsilon^4)+1}{2(Re(\varepsilon^3)+1)}=-\frac{Re(\varepsilon^3)+1}{2(Re(\varepsilon^3)+1)}=-1/2.$$

(13 Июн '14 18:15) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
1

Геометрическое решение: рассмотрим правильный семиугольник $%A_0A_1\ldots A_6$%, вписанный в единичную окружность, содержащий вершину $%A_0(1;0)$%. Абсциссы точек $%A_1$%, $%A_2$%, $%A_3$% равны косинусам углов из условия (в порядке следования), и то же верно для абсцисс точек, симметричных относительно оси $%Ox$%, то есть $%A_6$%, $%A_5$%, $%A_4$%.

Поскольку сумма векторов $%\vec{OA_0}+\vec{OA_1}+\cdots+\vec{OA_6}$% равна нулевому вектору, абсцисса суммы векторов $%\vec{OA_1}+\cdots+\vec{OA_6}$% без первого слагаемого равна $%-1$%. Но она же равна удвоенной сумме косинусов из условия, поэтому ответом будет $%-\frac12$%.

ссылка

отвечен 13 Июн '14 17:58

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

ссылка

отвечен 13 Июн '14 18:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×841
×405

задан
13 Июн '14 17:33

показан
517 раз

обновлен
13 Июн '14 18:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru